Défis avancés équations linéaires avec solutions détaillées
Relevez des défis mathématiques avec nos exercices avancés. Des solutions détaillées pour maîtriser les équations linéaires à un niveau supérieur.
Défis avancés : Équations linéaires
Considérons les équations linéaires suivantes et répondons aux questions posées.- Résoudre l'équation \(2x + 3 = 7\).
- Déterminer la pente de la droite représentée par l'équation \(y = 4x - 2\).
- Représenter graphiquement les équations \(y = 2x + 1\) et \(y = -x + 4\).
- Comparer les solutions des équations \(x - 5 = 3\) et \(2x + 1 = 0\).
- Estimer le point d'intersection des droites données par les équations \(3x + 2y = 6\) et \(x - y = 1\).
- Résoudre le système d'équations : \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 10 \\ 2x - y = 3 \end{array} \right.\).
Règles et méthodes pour résoudre les équations linéaires
- Une équation linéaire est de la forme \(ax + b = 0\).
- Pour résoudre \(ax + b = c\), isolez \(x\) en soustrayant \(b\) et divisant par \(a\).
- La pente \(m\) d'une droite \(y = mx + b\) donne la direction de la droite.
- Pour deux droites d'équations \(y = m_1x + b_1\) et \(y = m_2x + b_2\), leurs pentes déterminent leur relation.
- Deux équations peuvent être représentées graphiquement pour trouver leur point d'intersection.
- Les systèmes d'équations peuvent être résolus par substitution ou par élimination.
Indications pour résoudre les exercices
- Appliquez les opérations inverses pour isoler la variable.
- Vérifiez vos solutions en les substituant dans l'équation d'origine.
- Utilisez un graphique pour visualiser les solutions des équations.
- Rappelez-vous que des pentes identiques indiquent des droites parallèles.
- Pratiquez la substitution pour les systèmes d'équations.
Solutions détaillées des questions
- Résoudre l'équation :
\(2x + 3 = 7\)
Soustrayons \(3\) des deux côtés : \[ 2x = 7 - 3 \implies 2x = 4 \] Ensuite, divisons par \(2\) : \[ x = \frac{4}{2} = 2. \]
- Trouver la pente de la droite :
\(y = 4x - 2\)
La pente \(m\) est le coefficient de \(x\), ici \(m = 4\).
- Représentons graphiquement \(y = 2x + 1\) et \(y = -x + 4\).
Graphique à l'aide de Chart.js :
- Comparaison des solutions des équations :
\(x - 5 = 3\) et \(2x + 1 = 0\)
Pour la première équation : \[ x = 3 + 5 \implies x = 8. \] Pour la seconde équation : \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}. \]
- Estimation du point d'intersection :
Pour \(3x + 2y = 6\) et \(x - y = 1\), nous pouvons résoudre ce système par substitution.
De \(x - y = 1\), nous avons \(x = y + 1\). Substituons cela dans la première équation : \[ 3(y + 1) + 2y = 6 \implies 5y + 3 = 6 \implies 5y = 3 \implies y = \frac{3}{5}. \] En substituant \(y\) dans \(x = y + 1\), nous avons : \[ x = \frac{3}{5} + 1 = \frac{8}{5}. \] Donc, le point d'intersection est \((\frac{8}{5}, \frac{3}{5})\).
- Résoulons le système :
\(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 10 \\ 2x - y = 3 \end{array} \right.\)
De la première équation, nous posons \(y = 10 - x\). En substituant dans la seconde équation : \[ 2x - (10 - x) = 3 \implies 3x - 10 = 3 \implies 3x = 13 \implies x = \frac{13}{3}. \] En substituant \(x\) dans \(y = 10 - x\) : \[ y = 10 - \frac{13}{3} = \frac{30}{3} - \frac{13}{3} = \frac{17}{3}. \] La solution du système est \(\left(\frac{13}{3}, \frac{17}{3}\right)\).
Points clés à retenir sur les équations linéaires
- Les équations linéaires ont une solution unique, deux solutions ou aucune.
- La pente détermine la direction des droites dans le plan cartésien.
- Les systèmes d'équations peuvent être résolus par diverses méthodes.
- Les équations parallèles n'ont jamais de solutions communes.
- La méthode graphique est utile pour visualiser les solutions.
- Les solutions peuvent être vérifiées en substituant dans l'équation originale.
- Les systèmes peuvent être tridimensionnels selon le nombre de variables.
- Chaque équation linéaire peut être représentée par une droite dans un plan.
- Les équations peuvent être transformées pour simplifier leur résolution.
- Pratique est essentielle pour maîtriser les équations linéaires.
Définitions et descriptions
- Équation linéaire : Une équation qui peut être écrite sous la forme \(ax + b = 0\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes.
- Pente : Le coefficient \(m\) dans l'équation de la forme \(y = mx + b\) qui indique la direction et la steeper de la droite.
- Point d'intersection : Un point où deux lignes se croisent, représentant une solution commune à leurs équations.
- Système d'équations : Un ensemble de deux ou plusieurs équations qui peuvent être résolues ensemble.
- Substitution : Une méthode pour résoudre un système d'équations où on remplace une variable par une expression dérivée d'une autre équation.