Problèmes complexes d'équations linéaires exercices corrigés
Parfait pour les élèves recherchants des problèmes plus complexes. Ces exercices corrigés aideront à perfectionner vos techniques de résolution.
Problèmes complexes d'équations linéaires : Exercices corrigés
Voici un ensemble d'exercices consacrés aux équations linéaires. Chaque question vise à approfondir votre compréhension et votre maîtrise de ce concept essentiel.- 1. Résoudre l'équation \(2x + 3 = 11\).
- 2. Déterminer les solutions de l'équation \(4y - 2 = 2y + 10\).
- 3. Étudier l'équation \(5(x + 2) = x + 14\).
- 4. Trouver \(x\) si \(3(x - 1) + 7 = 4(x + 2)\).
- 5. Résoudre le système d'équations \(\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x - 3y = 4 \end{cases}\).
- 6. Exprimer \(y\) en fonction de \(x\) pour l'équation \(3x - 4y = 12\).
- 7. Vérifier si \(x = 2\) est une solution de l'équation \(2x^2 - 8 = 0\).
- 8. Représenter graphiquement les équations \(y = 2x + 1\) et \(y = -x + 5\).
Règles et Formules de base des équations linéaires
- Une équation linéaire est généralement de la forme \(ax + b = 0\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes.
- Pour résoudre une équation, il convient d'isoler la variable. Par exemple, pour \(ax + b = c\), on peut écrire \(ax = c - b\).
- Les systèmes d'équations peuvent être résolus par substitution ou par réduction.
- Graphiquement, une équation linéaire représente une droite sur un plan cartésien.
Indications pour résoudre les équations
- Commencez par simplifier l'équation le plus possible.
- Si vous travaillez avec des fractions, multipliez par le dénominateur pour éliminer celles-ci.
- Vérifiez toujours vos solutions en les remplaçant dans l'équation d'origine.
Corrections et explications détaillées de chaque question
1. Pour l'équation \(2x + 3 = 11\), nous soustrayons 3 des deux côtés :
\(2x = 8\) puis en divisant par 2, on obtient \(x = 4\).
2. Pour \(4y - 2 = 2y + 10\), nous allons déplacer \(2y\) :
\(4y - 2y = 10 + 2\) donc \(2y = 12\) et en divisant par 2, \(y = 6\).
3. Pour l'équation \(5(x + 2) = x + 14\), nous développons :
\(5x + 10 = x + 14\) et en rassemblant les termes similaires, \(4x = 4\) donc \(x = 1\).
4. En manipulant \(3(x - 1) + 7 = 4(x + 2)\), nous avons :
\(3x - 3 + 7 = 4x + 8\) ou \(3x + 4 = 4x + 8\) donc \(x = -4\).
5. Pour le système \(\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x - 3y = 4 \end{cases}\), remplaçons \(y\) par \(10 - x\) dans la deuxième équation :
\(2x - 3(10 - x) = 4\) et en résolvant, on trouve \(x = 4\), \(y = 6\).
6. Pour \(3x - 4y = 12\), nous isolons \(y\) : \(y = \frac{3x - 12}{4}\).
7. En remplaçant \(x = 2\) dans \(2x^2 - 8\) :
\(2(2^2) - 8 = 8 - 8 = 0\), donc \(x = 2\) est bien une solution.
8. Pour représenter graphiquement \(y = 2x + 1\) et \(y = -x + 5\) :
Points clés à retenir sur les équations linéaires
- Une équation linéaire doit être mise sous une forme standard pour faciliter la résolution.
- Les solutions peuvent être uniques, multiples ou absentes.
- Les coefficients d'une équation linéaire influent directement sur la pente de la droite.
- La substitution et l'élimination sont des méthodes efficaces pour résoudre les systèmes d'équations.
Dictionnaire des termes utilisés
- Équation linéaire : Relation mathématique de forme \(ax + b = 0\).
- Système d'équations : Ensemble d'équations linéaires à résoudre simultanément.
- Coefficient : Nombre multiplicateur d'une variable dans une équation.
- Terme constant : Partie d'une équation sans variable.
