Exercices intermédiaires sur les équations linéaires
Testez vos compétences avec ces exercices intermédiaires sur les équations linéaires. Corrigés inclus pour suivre votre progression.
Exercices intermédiaires sur les équations linéaires
Dans cet exercice, nous allons explorer la forme standard des équations linéaires. Vous trouverez ci-dessous une série de questions pour pratiquer et comprendre le sujet.- 1. Écrivez l'équation linéaire correspondante à la droite passant par les points A(2, 3) et B(4, 7).
- 2. Établissez la forme standard de l'équation linéaire à partir de l'équation \( y = 2x + 1 \).
- 3. Résoudre l'équation \( 3x - 4 = 8 \).
- 4. Trouver les points d'intersection entre la droite \( y = -x + 5 \) et la droite \( y = 2x - 1 \).
- 5. Déterminer l'ordonnée à l'origine et la pente de la droite \( 6x + 2y = 12 \).
Règles et Formules des Équations Linéaires
- La forme standard d'une équation linéaire est \( Ax + By = C \), où A, B et C sont des constantes.
- La pente-intercept form est \( y = mx + b \), où \( m \) est la pente et \( b \) est l'ordonnée à l'origine.
- Pour calculer la pente \( m \) entre deux points \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \), utilisez \( m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \).
Indications pour Résoudre des Équations Linéaires
Voici quelques conseils qui vous aideront à travailler avec les équations linéaires :
- Identifiez toujours deux points pour calculer la pente.
- Pour passer de la forme slope-intercept à la forme standard, réarrangez l'équation.
- Lorsque vous résolvez pour \( x \), isolez \( x \) d'un côté de l'équation.
Solutions Détaillées des Questions
Question 1
Pour trouver l'équation de la droite passing par les points \( A(2, 3) \) et \( B(4, 7) \), calculons la pente :
La pente \( m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \.
Utilisons la forme point-pente pour créer l'équation :
\( y - y_1 = m(x - x_1) \) donne :
\\( y - 3 = 2(x - 2) \\ which simplifies to \\ y = 2x - 1 \\
Question 2
Pour reformuler \( y = 2x + 1 \) en forme standard, réarrangeons :
\\ 2x - y + 1 = 0 \\
La forme standard sera donc : \\ -2x + y = 1 \\
Question 3
Pour résoudre \( 3x - 4 = 8 \) :
Ajoutez 4 des deux côtés : \\ 3x = 12 \\
Divisez par 3 : \\ x = 4 \\
Question 4
Pour trouver les points d'intersection des droites \( y = -x + 5 \) et \( y = 2x - 1 \), égalons les deux expressions :
\\ -x + 5 = 2x - 1 \\
Réarrangeons : \\ 3x = 6 \\, ce qui donne \\ x = 2 \\ et substituez dans \\ y = 2(2) - 1 = 3 \\.
Donc, \( (2, 3) \) est le point d'intersection.
Question 5
Pour \( 6x + 2y = 12 \\ . Découvrez les valeurs de \( y \) et la pente :
Réorganiser : \\ 2y = -6x + 12 \\ puis \\ y = -3x + 6 \, ce qui montre que la pente est -3 et l'ordonnée à l'origine est 6.
Points Clés à Retenir
- Une équation linéaire représente une ligne droite sur le graphique.
- Les pentes positives montent, celles négatives descendent.
- La forme standard est utile pour identifier rapidement les coefficients.
- Les intersections de droites peuvent être trouvées par substitution.
- Le moyen de vérifier les solutions est de substituer dans l'équation originale.
- L’ordonnée à l’origine indique où la droite croise l’axe y.
- Comprendre les différents formulaires aide à résoudre des problèmes complexes.
- Les points sont essentiels pour tracer des graphes représentatifs.
- Utilisez des méthodes algébriques pour isoler les variables d'intérêt.
- Rappelez-vous que chaque équation a une interprétation graphique.
Définitions Essentielles
- Équation Linéaire : Une équation de degré un qui peut être représentée par une droite sur un graphique.
- Forme Standard : Représentation d'une équation linéaire sous la forme \( Ax + By = C \).
- Pente : Taux de variation de la variable dépendante par rapport à la variable indépendante et est notée \( m \).
- Ordonnée à l'origine : La valeur de \( y \) au point où la droite croise l'axe \( y \), notée \( b \).
- Point d'intersection : Coordonnées (x, y) où deux lignes se rencontrent sur un graphique.