Problèmes avancés d'équations linéaires corrigés
Pour ceux qui cherchent un défi, découvrez des problèmes avancés d'équations linéaires corrigés. Poussez vos limites avec nos solutions complètes.
Problèmes avancés d'équations linéaires
Dans cet exercice, nous étudierons plusieurs problèmes avancés liés aux équations linéaires et leur résolution. L'objectif est de renforcer vos compétences dans la mise en forme standard des équations linéaires et dans la résolution de systèmes d'équations.Les questions suivantes vous guideront à travers différents aspects des équations linéaires.- Résoudre l'équation linéaire suivante : \( 3x + 5 = 20 \)
- Exprimer la relation entre \( x \) et \( y \) à partir des équations : \( 2x - 4y = 8 \) et \( x + y = 10 \)
- Trouver l'équation de la droite passant par les points \( A(1, 2) \) et \( B(3, 4) \).
- Déterminer si les droites représentées par \( 2x + 3y = 6 \) et \( 4x + 6y = 12 \) sont parallèles.
- Résoudre le système d'équations suivant :
- \( x + 2y = 3 \)
- \( 2x - y = 4 \)
- Interpréter graphiquement le système \( y = 2x + 1 \) et \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \).
Règles et formules à retenir
- Une équation linéaire est de la forme \( ax + b = c \).
- Pour résoudre une équation linéaire, isolez la variable en utilisant des opérations inverses.
- La forme standard d'une équation de droite est \( Ax + By + C = 0 \).
- Pour déterminer les coefficients d'une droite passant par deux points, utilisez la formule de la pente.
- Deux droites sont parallèles si leurs pentes sont égales.
- Pour résoudre un système d'équations linéaires, utilisez les méthodes d'élimination ou de substitution.
Indications pour résoudre les problèmes
- Commencez par simplifier les équations autant que possible.
- Utilisez un graphique pour visualiser les solutions des équations.
- Notez que les solutions d'un système d'équations peuvent être uniques, multiples ou inexistantes.
- Vérifiez toujours votre réponse en substituant dans les équations originales.
Solutions détaillées
1. Résoudre \( 3x + 5 = 20 \)
Pour résoudre cette équation, nous soustrayons 5 des deux côtés :
\( 3x = 15 \)
Ensuite, nous divisons par 3 :
\( x = 5 \)
2. Relation entre \( x \) et \( y \)
À partir de \( 2x - 4y = 8 \), nous isolons \( y \) :
\( 4y = 2x - 8 \) <=> \( y = \frac{1}{2}x - 2 \)
À partir de \( x + y = 10 \), nous isolons \( y \) également :
\( y = 10 - x \)
Nous pouvons désormais substituer pour trouver les valeurs :
En égalant les deux expressions :
\( \frac{1}{2}x - 2 = 10 - x \)
Résolvons pour \( x \) :
\( \frac{3}{2}x = 12 \) <=> \( x = 8 \)
Substituons \( x \) pour trouver \( y \): \( y = 10 - 8 = 2 \)
3. Équation de la droite passant par \( A(1, 2) \) et \( B(3, 4) \)
Calculons la pente : \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = 1 \).
Utilisons la forme point-pente : \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 2 = 1(x - 1) \) <=> \( y = x + 1 \).
4. Vérification des droites parallèles
Reformulons \( 2x + 3y = 6 \) en \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \) et \( 4x + 6y = 12 \) en \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \) également.
Les deux droites ont la même pente, donc elles sont parallèles.
5. Résolution du système d'équations
Nous résolvons par substitution :
À partir de \( x + 2y = 3 \) <=> \( x = 3 - 2y \), substituons cela dans la deuxième équation :
\( 2(3 - 2y) - y = 4 \) <=> \( 6 - 4y - y = 4 \) <=> \( 6 - 5y = 4 \) <=> \( 5y = 2 \) <=> \( y = \frac{2}{5} \).
Puis, substituons \( y \) dans \( x = 3 - 2(\frac{2}{5}) \) <=> \( x = \frac{11}{5} \).
6. Interprétation graphique
Pour \( y = 2x + 1 \) et \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \), nous traçons les deux équations :
Les deux droites se croisent en un point qui est la solution du système.
Points clés à retenir
- Toutes les équations de la forme \( ax + b = c \) peuvent être résolues en isolant \( x \).
- La pente d'une droite détermine son inclinaison.
- Les systèmes d'équations linéaires peuvent être résolus par substitution ou élimination.
- Les solutions des systèmes d'équations peuvent être uniques, multiples ou inexistantes.
- La représentation graphique aide à visualiser les solutions.
- Il est crucial de vérifier les solutions en les substituant dans les équations d'origine.
- Des droites parallèles n'ont pas de point d'intersection.
- Les solutions des systèmes peuvent être trouvées graphiquement.
- Les coefficients des équations déterminent les relations entre les variables.
- Comprendre les pentes est essentiel pour résoudre les équations linéaires.
Définitions importantes
- Équation linéaire : Une équation qui forme une ligne droite lorsqu'elle est tracée sur un graphique.
- Pente : Mesure de l'inclinaison d'une droite, calculée comme le rapport entre la variation des \( y \) et la variation des \( x \).
- Ordonnée à l'origine : Le point où la droite croise l'axe des \( y \).
- Solution d'une équation : Valeur qui satisfait l'équation.
- Système d'équations : Ensemble d'équations à résoudre simultanément.
- Point d'intersection : Point où deux droites se croisent, représentant une solution commune.