Maitrisez la forme standard exercices pratiques
Maîtrisez la forme standard des équations linéaires avec ces exercices pratiques. Chaque solution est expliquée pour maximiser votre compréhension.
Exercices pratiques sur la forme standard des équations linéaires
Dans cet exercice, nous allons explorer la forme standard d'une équation linéaire, à savoir \(Ax + By + C = 0\). Vous allez répondre à une série de questions pour maîtriser ce concept.Règles et formules importantes
- La forme standard d'une équation linéaire est donnée par \(Ax + By + C = 0\).
- Les coefficients \(A\), \(B\) et \(C\) sont des nombres réels.
- Un équation est considérée linéaire si son graphique est une droite.
- Pour représenter l'équation sous forme de pente, on peut la réécrire sous forme explicite: \(y = mx + b\), où \(m\) est la pente et \(b\) l'ordonnée à l'origine.
Indications pour résoudre les équations
- Identifiez les valeurs de \(A\), \(B\), et \(C\) dans l'équation.
- Pour transformer l'équation en forme explicite, isolez \(y\).
- Utilisez le graphique pour visualiser les points d'intersection avec les axes.
- Vérifiez les solutions en substituant dans l'équation d'origine.
Solutions détaillées des questions
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Question 1: Transformez l'équation \(2x + 3y - 6 = 0\) en forme explicite.
Pour isoler \(y\), on commence par déplacer le \(2x\) de l'autre côté:
$$3y = -2x + 6$$
Ensuite, divisez par \(3\):
$$y = -\frac{2}{3}x + 2$$
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Question 2: Identifiez \(A\), \(B\), et \(C\) dans l'équation \(x - 5y + 20 = 0\).
Nous avons \(A = 1\), \(B = -5\), \(C = 20\).
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Question 3: Tracez le graphique de l'équation \(3x + 4y = 12\).
En transformant en forme explicite :
$$4y = -3x + 12 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x + 3$$
Pour tracer la droite, nous choisissons deux points :
Lorsque \(x = 0\), \(y = 3\) et lorsque \(x = 4\), \(y = 0\).
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Question 4: Déterminez la pente de l'équation \(y - 2 = 2(x - 3)\).
Cette équation est en forme point-pente. En développant:
$$y - 2 = 2x - 6 \Rightarrow y = 2x - 4$$
La pente \(m\) est \(2\).
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Question 5: Lorsqu'on sait que \(A=0\) dans l’équation \(Ax + By + C = 0\), quelle est la forme de cette équation ?
Si \(A=0\), l'équation devient \(By + C = 0\), donc \(y = -\frac{C}{B}\), ce qui représente une ligne horizontale.
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Question 6: Écrivez l'équation d'une droite par son ordonnée à l'origine \(b=1\) et sa pente \(m=3\).
L'équation de la droite est:
$$y = 3x + 1$$
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Question 7: Résolvez graphiquement le système d’équations suivant:
1) \(2x + y = 10\)
2) \(x - y = 2\)
Pour résoudre graphiquement, dessinez les deux équations sur le même graphique. Le point d'intersection donne la solution du système.
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Question 8: Pour l'équation \(2x + 4y - 8 = 0\), trouvez les intercepts sur les axes x et y.
Pour l'axe x, mettez \(y=0\):
$$2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$$
Pour l'axe y, mettez \(x=0\):
$$4y - 8 = 0 \Rightarrow y = 2$$
Points clés à retenir sur la forme standard
- La forme standard est utile pour identifier les coefficients rapidement.
- Un changement de forme nécessite de comprendre les manipulations algébriques.
- Graphiquement, chaque équation linéaire représente une droite unique.
- La pente et l'ordonnée à l'origine sont des éléments essentiels à vérifier.
- Savoir identifier les intercepts est crucial pour tracer des graphiques.
- Les systèmes d'équations peuvent être résolus graphiquement pour des visualisations claires.
- Des équations avec \(A=0\) donnent des lignes horizontales, tandis qu'avec \(B=0\) donnent des lignes verticales.
- Les équations linéaires peuvent avoir des solutions uniques, aucune ou infinies.
- Manipuler des équations peut mener à des erreurs, vérifiez toujours vos pas de solution.
- Pratiquez avec différents exemples pour renforcer votre compréhension.
Définitions importantes
- Forme standard: La représentation d'une équation linéaire de la forme \(Ax + By + C = 0\).
- Pente: Le taux de variation \(m\) dans l'équation d'une droite, indiquant l'inclinaison.
- Ordonnée à l'origine: Le point où la droite coupe l'axe y.
- Intercept: Le point de croisement d'une ligne avec un axe (x ou y).
- Système d'équations: Deux ou plusieurs équations qui doivent être résolues simultanément.
- Solution graphique: Utilisation de graphiques pour identifier visuellement les solutions d'un système d'équations.
- Représentation graphique: La manière dont une équation est dessinée sur un plan cartésien.
