Modèles Complexes d'Équations Linéaires avec Solutions
Approfondissez votre compréhension des modèles complexes d'équations linéaires avec ces exercices corrigés riches en solutions complètes pour le Lycée.
Exercice sur les Équations Linéaires Complexes
Dans cet exercice, nous allons explorer des modèles complexes d'équations linéaires. Vous devrez résoudre ces équations et interpréter leurs solutions à l'aide de graphiques et de diagrammes. Voici les questions que vous devez traiter :- Résoudre le système d'équations suivant : \[\begin{cases}2x + 3y = 6 \\4x - y = 9\end{cases}\]
- Déterminer les points d'intersection des deux droites représentées par les équations ci-dessus.
- Représenter graphiquement le système d'équations.
- Vérifier si le point (2, 0) est une solution du système.
- Expliquer ce que signifie « système d'équations compatible ».
- Calculer la matrice associée au système d'équations donné.
Règles et Méthodes à Suivre
- Pour résoudre un système d'équations, on peut utiliser la méthode de substitution ou d'élimination.
- Le point d'intersection de deux droites est la solution du système d'équations.
- Utiliser le déterminant pour analyser la compatibilité d'un système d'équations.
- La matrice associée à un système d'équations peut fournir des informations sur le nombre de solutions.
- Un système est dit compatible si au moins une solution existe.
Indications pour Résoudre les Équations
- Transformez les équations en une forme plus simple si nécessaire.
- Graphiquement, vérifiez si les lignes se croisent.
- Utilisez des outils de calcul pour vérifier vos solutions.
- Examinez la validité des solutions en les substituant dans les équations d'origine.
- Identifiez la matrice en écrivant les coefficients et les constantes dans la forme appropriée.
Solutions Détailleés aux Questions
- Pour résoudre le système :\[\begin{cases}2x + 3y = 6 \\4x - y = 9\end{cases}\]Nous commençons par la première équation :\[3y = 6 - 2x \implies y = 2 - \frac{2}{3}x\]Ensuite, nous substituons \(y\) dans la seconde équation :\[4x - (2 - \frac{2}{3}x) = 9 \implies 4x + \frac{2}{3}x - 2 = 9 \implies \frac{14}{3}x = 11 \implies x = \frac{33}{14}.\]Nous remplaçons \(x\) pour trouver \(y\) :\[y = 2 - \frac{2}{3}\left(\frac{33}{14}\right) \implies y = 2 - \frac{22}{21} \implies y = \frac{42}{21} - \frac{22}{21} = \frac{20}{21}.\]La solution est : \(\left( \frac{33}{14}, \frac{20}{21} \right)\).
- Les points d’intersection sont donnés par la solution \(x\) et \(y\) calculés ci-dessus.
- En substituant \( (2,0) \) dans les deux équations :Pour la première équation : \(2(2) + 3(0) = 4 \neq 6.\)Ce n'est pas une solution du système.
- Un système est « compatible » s'il a au moins une solution, qu'elle soit unique ou infinie.
- La matrice associée est :\[\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & -1\end{pmatrix}\end{pmatrix}.\]Calculons le déterminant pour vérifier la compatibilité :\[\text{Determinant} = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 4 = -2 - 12 = -14 \e 0.\]Ainsi, le système est compatible et a une solution unique.
Points Clés à Retenir
- Un système d'équations peut avoir zéro, une ou une infinité de solutions.
- La méthode de substitution consiste à isoler une variable.
- La méthode d'élimination permet de réduire le nombre d'équations.
- La compatibilité d'un système peut être vérifiée grâce à la matrice.
- Les graphiques sont un outil puissant pour visualiser les solutions.
- Les points d'intersection représentent des solutions potentielles.
- Une matrice de coefficients aide à analyser le système d'équations.
- Le déterminant est un indicateur clé de la nature du système.
- Les systèmes parallèles n'ont pas de solutions.
- Tracer les équations sur un plan facilite la compréhension des solutions.
Définitions et Termes Utilisés
- Système d'Équations Linéaires : Ensemble d'équations dont les solutions déterminent des valeurs pour les variables concernées.
- Compatible : Se dit d'un système qui a au moins une solution.
- Incompatible : Système qui n'a aucune solution.
- Déterminant : Valeur calculée à partir des coefficients du système, utilisée pour déterminer la compatibilité.
- Matrice : Tableau de nombres qui représente les coefficients d'un système d'équations.