Apprendre et maîtriser les équations linéaires corrigés
Développez votre maîtrise des équations linéaires avec des exercices corrigés, parfaitement adaptés aux étudiants du lycée et du collège.
Exercice sur les Équations Linéaires à une Inconnue
Cet exercice a pour objectif de vous faire apprendre et maîtriser les équations linéaires à une inconnue. Vous allez résoudre plusieurs équations et appliquer ce que vous avez appris.- Question 1: Résoudre l'équation \(2x + 3 = 7\).
- Question 2: Déterminer la valeur de \(y\) pour \(3y - 9 = 0\).
- Question 3: Résoudre \(4(x - 2) = 12\).
- Question 4: Trouver \(x\) dans l'équation \(5x + 6 = 2x + 15\).
- Question 5: Si \(2(m + 1) = 10\), quelle est la valeur de \(m\) ?
- Question 6: Résoudre l'équation \(7 - 3z = 1\).
- Question 7: Montrer que l'équation \(8w + 2 = 5w + 11\) est une équation linéaire.
Règles et Méthodes de Résolution
- Règle 1: Isoler l'inconnue d'un côté de l'égalité.
- Règle 2: Appliquer les opérations inverse (addition, soustraction, multiplication, division).
- Règle 3: Vérifier votre solution en remplaçant l'inconnue dans l'équation initiale.
- Règle 4: Les équations de la forme \(ax + b = c\) peuvent être résolues en exprimant \(x\) avec \(\frac{c - b}{a}\).
- Règle 5: Les équations linéaires peuvent avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
Indications pour la Résolution des Équations
- Indication 1: Commencer par simplifier l'équation si possible.
- Indication 2: Éviter de faire des erreurs de signe.
- Indication 3: Équilibrer les deux côtés de l'équation.
- Indication 4: Utiliser des chiffres simples dans les exemples pour bien comprendre.
- Indication 5: Dessiner un schéma si nécessaire pour visualiser le problème.
Corrigés des Questions
Question 1: Résoudre \(2x + 3 = 7\).
Pour isoler \(x\), on soustrait \(3\) des deux côtés:
\(2x + 3 - 3 = 7 - 3\) \rightarrow \(2x = 4\).
Enfin, on divise par \(2\): \(x = \frac{4}{2} = 2\).
Question 2: Déterminer \(y\) pour \(3y - 9 = 0\).
On ajoute \(9\) des deux côtés: \(3y = 9\).
On divise par \(3\): \(y = \frac{9}{3} = 3\).
Question 3: Résoudre \(4(x - 2) = 12\).
On divise par \(4\): \(x - 2 = 3\).
On ajoute \(2\): \(x = 5\).
Question 4: Trouver \(x\) dans \(5x + 6 = 2x + 15\).
On soustrait \(2x\) et \(6\): \(5x - 2x = 15 - 6\).
Cela donne \(3x = 9\), donc \(x = \frac{9}{3} = 3\).
Question 5: Résoudre \(2(m + 1) = 10\).
On divise par \(2\): \(m + 1 = 5\).
On soustrait \(1\): \(m = 4\).
Question 6: Résoudre \(7 - 3z = 1\).
On soustrait \(7\): \(-3z = -6\).
On divise par \(-3\): \(z = 2\).
Question 7: Montrer que \(8w + 2 = 5w + 11\) est linéaire.
En réarrangeant on a \(8w - 5w = 11 - 2\) ce qui donne \(3w = 9\) donc \(w = 3\). C'est une équation linéaire.
Points Clés à Retenir
- Les équations linéaires ont la forme générale \(ax + b = c\).
- Chaque équation peut être manipulée à l'aide d'opérations inverses.
- La vérification de la solution est essentielle.
- Une équation peut avoir plusieurs formes équivalentes.
- Les solutions peuvent être vérifiées par substitution.
- Les erreurs courantes proviennent souvent des signes et de l'ordre des opérations.
- Les graphiques peuvent aider à visualiser les équations linéaires.
- Une équation linéaire peut être représentée par une droite dans le plan.
- Le coefficient directeur d'une droite représente la pente de l'équation.
- Les systèmes d'équations peuvent inclure plusieurs équations linéaires.
Définitions des Termes Utilisés
- Équation Linéaire: Une équation qui peut être exprimée sous la forme \(ax + b = c\).
- Inconnue: La variable que l'on cherche à déterminer.
- Solution: La valeur de l'inconnue qui vérifie l'équation.
- Coefficient: Le nombre devant une variable dans une équation.
- Pente: La mesure de l'inclinaison de la droite dans un graphique.
- Graphique: Une représentation visuelle des équations dans un plan.
- Substitution: Remplacer une variable par une valeur pour vérifier une équation.
- Système d'Équations: Un ensemble de deux ou plusieurs équations avec les mêmes variables.
- Valeur Absolue: La distance à zéro sur une droite numérique, sans tenir compte du signe.
- Intersection: Le point où deux ou plusieurs droites se rencontrent, représentant une solution commune.
