Exercices corrigés simples sur les systèmes d'équations
Découvrez des exercices corrigés simples sur les systèmes d'équations linéaires. Idéal pour les collégiens souhaitant renforcer leurs bases en mathématiques.
Exercice corrigé sur les systèmes d'équations linéaires
Ce sujet aborde les systèmes d'équations linéaires et propose un exercice comportant quatre questions. Les systèmes d'équations sont des ensembles d'équations qui partagent des variables communes. Le but est de trouver les valeurs de ces variables qui satisfont toutes les équations simultanément.Règles et méthodes pour résoudre les systèmes d'équations
- Étape 1 : Identifier le nombre d'équations et de variables.
- Étape 2 : Choisir une méthode de résolution (substitution, réduction, graphique).
- Étape 3 : Isoler une variable si nécessaire.
- Étape 4 : Substituer dans les autres équations pour simplifier.
- Étape 5 : Vérifier les solutions trouvées dans toutes les équations.
Indications pour la résolution des systèmes d'équations
- Utilisez la méthode de substitution pour des systèmes simples.
- Pour des systèmes plus complexes, la méthode de réduction peut être plus efficace.
- Tracez le graphique des équations pour visualiser les solutions potentielles.
- Vérifiez toujours l'exactitude de la solution en la substituant dans les équations originales.
- Faites attention aux systèmes incompatibles qui n'ont pas de solutions.
Corrigé des questions de l'exercice
Question 1 : Résoudre le système
Soit le système d'équations suivant :\[\begin{align*}2x + 3y &= 6 \quad (1) \\4x - y &= 5 \quad (2) \end{align*}\]*Étape 1 : Utiliser la substitution à partir de (1).* Isolons \(y\) dans (1) : \[3y = 6 - 2x \implies y = \frac{6 - 2x}{3} \quad (3)\]*Étape 2 : Remplacer \(y\) dans (2).* \[4x - \frac{6 - 2x}{3} = 5\]*Étape 3 : Multiplier par 3 pour éliminer le dénominateur :*\[12x - (6 - 2x) = 15 \implies 14x - 6 = 15 \implies 14x = 21 \implies x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}\]*Étape 4 : Substituer \(x\) dans (3) pour trouver \(y\).*\[y = \frac{6 - 2(\frac{3}{2})}{3} = \frac{6 - 3}{3} = 1\]*La solution est donc* \( (x,y) = \left( \frac{3}{2}, 1 \right) \).Question 2 : Vérifiez les solutions
Substituons \(x = \frac{3}{2}\) et \(y = 1\) dans les équations (1) et (2) pour vérifier :Pour (1):\[2 \times \frac{3}{2} + 3 \times 1 = 3 + 3 = 6 \quad \text{vrai.}\]Pour (2):\[4 \times \frac{3}{2} - 1 = 6 - 1 = 5 \quad \text{vrai.}\]*Les solutions vérifient les deux équations.*Question 3 : Résoudre un système avec une variable libre
Considérons le système :\[\begin{align*}x + 2y &= 4 \quad (1) \\2x + 4y &= 8 \quad (2) \end{align*}\]*Remarquons que (2) est une multiple de (1).* Le système a une infinité de solutions, donc \(x\) peut être exprimé en fonction de \(y\) :\[x = 4 - 2y\]*Pour tous \(y \in \mathbb{R}\), nous avons une solution.*Question 4 : Représentation graphique du système
Graphiquement, les deux équations du système ci-dessus sont des droites coincidentes, ce qui entraîne une infinité de solutions. Pour représenter ce système, utilisons Chart.js :Points clés à retenir sur les systèmes d'équations
- Les systèmes peuvent avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
- La méthode de substitution est utile pour résoudre les systèmes simples.
- Les graphes permettent de visualiser les solutions.
- Les systèmes linéaires peuvent toujours être représentés graphiquement par des droites.
- La solution d'un système est l'intersection des droites représentées.
- Un système avec des équations dépendantes a une infinité de solutions.
- Vérifier les solutions est crucial pour éviter les erreurs.
- Les systèmes incompatibles n'ont pas de solution.
- La forme augmentée d'une matrice est utile pour la résolution.
- Les matrices peuvent également être utilisées pour résoudre des systèmes d'équations.
Définitions importantes des systèmes d'équations
- Système d'équations : Ensemble d'équations ayant des variables communes.
- Solution : Valeurs des variables qui satisfont toutes les équations simultanément.
- Équations linéaires : Équations de degré 1 sous la forme ax + by = c.
- Incompatibilité : Situation où aucune solution ne satisfait l'ensemble des équations.
- Méthode de substitution : Technique permettant de résoudre un système en isolant une variable.
- Méthode de réduction : Technique consistant à éliminer une variable en ajoutant ou soustrayant des équations.
- Graphique : Représentation des solutions d'un système sur un plan cartésien.
- Forme augmentée : Représentation matricielle d'un système d'équations.
- Variables libres : Variables qui peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un système d'équations.
- Multiples d'une équation : Équations qui sont des multiples d'une autre, représentant la même droite.