Système d'équations linéaires exercices de niveau intermédiaire
Explorez des exercices intermédiaires sur les systèmes d'équations linéaires. Des corrigés complets vous accompagneront pour bien comprendre chaque étape.
Système d'Équations Linéaires - Exercice Intermédiaire
Dans cet exercice, vous devez résoudre un système d'équations linéaires. Voici les équations :1) \( 2x + 3y = 6 \) 2) \( 4x - y = 5 \)Questions :1) Trouvez la solution du système par la méthode de substitution.2) Résolvez le système en utilisant la méthode d'élimination.3) Représentez graphiquement les deux équations dans le même plan.4) Interprétez graphiquement la solution du système.5) Que se passe-t-il si les deux lignes sont parallèles ? 6) Comment peut-on vérifier la solution trouvée ?Règles et Méthodes pour Résoudre les Systèmes d'Équations Linéaires
- Méthode de substitution : Isoler une variable et substituer cette valeur dans l'autre équation.
- Méthode d'élimination : Ajouter ou soustraire les équations pour éliminer une variable.
- Graphiquement, chaque équation est représentée par une droite.
- La solution est l'intersection de ces droites.
- Si les lignes sont parallèles, il n'y a pas de solution.
- Si les lignes coïncident, il y a une infinité de solutions.
Indications pour Résoudre les Systèmes d'Équations Linéaires
- Commencez par organiser vos équations.
- Déterminez la méthode que vous souhaitez utiliser (substitution ou élimination).
- Pour la méthode de substitution, choisissez une équation facile à manipuler.
- Pour la méthode d'élimination, alignez les variables.
- Vérifiez toujours votre solution en la remplaçant dans les deux équations.
Solutions Détailées des Questions
1) Méthode de substitution :
À partir de la première équation, isolons \(y\) :\[3y = 6 - 2x \implies y = 2 - \frac{2}{3}x\]Remplaçons \(y\) dans la deuxième équation :\[4x - (2 - \frac{2}{3}x) = 5 \implies 4x + \frac{2}{3}x - 2 = 5\]Résolvons pour \(x\).
2) Méthode d'élimination :
Multiplier la première équation par 4 :\[8x + 12y = 24\]Maintenant nous avons :1) \(8x + 12y = 24\) 2) \(4x - y = 5\) Ajouter cette forme pour éliminer \(x\).
3) Représentation graphique avec Chart.js :
4) Interprétation : L'intersection des deux droites indique la solution du système.
5) Si les droites sont parallèles, aucune solution n'existe. Cela peut être vérifié par la comparaison des pentes.
6) Vérifiez en substituant la solution dans les équations d'origine pour confirmation.
Points Clés à Retenir sur les Systèmes d'Équations Linéaires
- Chaque système d'équations peut être résolu par plusieurs méthodes.
- Graphiquement, une solution est trouvée là où les droites se croisent.
- Les systèmes avec des solutions infinies se représentent par deux droites coïncidentes.
- Un système sans solution a des droites parallèles.
- Isoler une variable simplifie souvent la résolution d'un système.
- Vérifier la solution est une étape essentielle dans le processus de résolution.
- La solution d'un système peut souvent être interprétée dans un contexte pratique.
- La représentation graphique peut rendre les concepts plus clairs.
- Les systèmes d'équations peuvent avoir des applications variées dans la vie réelle.
- Maîtriser les méthodes de résolution est crucial pour les mathématiques avancées.
Définitions des Termes Utilisés dans les Systèmes d'Équations Linéaires
- Système d'équations linéaires : Ensemble de deux ou plusieurs équations linéaires partageant les mêmes variables.
- Solution : Ensemble de valeurs des variables qui satisfait toutes les équations du système.
- Méthode de substitution : Procédé pour résoudre un système où une variable est isolée dans l'une des équations.
- Méthode d'élimination : Processus d'addition ou soustraction des équations pour réduire le nombre de variables.
- Droites parallèles : Droites qui n'ont pas de point d'intersection, indiquant qu'il n'y a pas de solution.
- Graphique : Représentation visuelle des équations dans un plan cartésien.
