Exercices corrigés sur les inéquations simples

Découvrez des exercices corrigés sur les inéquations simples pour renforcer votre compréhension des concepts fondamentaux en algèbre et obtenir de bons résultats.

Exercices corrigés sur les inéquations simples

Dans cet exercice, nous allons résoudre des inéquations simples. Préparez-vous à manipuler des nombres, à isoler des variables, et à vérifier des solutions. Voici les questions :

Résoudre l'inéquation : \( 3x - 5 < 4 \)
Résoudre la système d'inéquations : \( x + 2 \geq 6 \) et \( 2x - 3 < 5 \)
Résoudre l'inéquation : \( -4 \leq 2x + 1 < 7 \)
Déterminer les solutions de l'inéquation : \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)
Interpréter graphiquement l'inéquation : \( y \leq \frac{1}{2}x + 1 \)

Règles et méthodes pour résoudre les inéquations

Pour une inéquation de la forme \( ax + b < c \), on isole \( x \) en soustrayant \( b \) et en divisant par \( a \).
Lorsque l'on divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.
Pour les systèmes d'inéquations, résoudre chaque inéquation séparément puis trouver l'intersection des solutions.
Graphiquement, une inéquation de type \( y \leq mx + b \) est la partie en dessous ou sur la droite.
Une inéquation quadratique \( ax^2 + bx + c > 0 \) peut être résolue en étudiant les signes des facteurs.

Conseils pour résoudre les inéquations

Relisez bien chaque étape pour ne pas perdre de solution.
Utilisez des tests de valeurs pour vérifier les solutions des inéquations.
N'oubliez pas de représenter graphiquement les solutions lorsque cela est possible.
Si une inéquation a plusieurs solutions, pensez à les représenter sur un nombre réel.
Restez attentif aux points critiques lors de la résolution d'inéquations quadratiques.

Corrigé de chaque question de l'exercice

1. Résoudre l'inéquation : \( 3x - 5 < 4 \)

Donc, la solution est \( x < 3 \).

2. Résoudre le système d'inéquations : \( x + 2 \geq 6 \) et \( 2x - 3 < 5 \)

On résout chaque inéquation : 3. Résoudre l'inéquation : \( -4 \leq 2x + 1 < 7 \)

On sépare les deux inégalités :

Pour la seconde inégalité : 4. Déterminer les solutions de l'inéquation : \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)

En factorisant : 0 \end{align*} \end{p} Les solutions sont \( x < 2 \) ou \( x > 3 \).

5. Interpréter graphiquement l'inéquation : \( y \leq \frac{1}{2}x + 1 \)

Pour tracer la droite : \begin{align*} y & = \frac{1}{2}x + 1 \end{align*} Nous traçons la droite et remplissons la région en dessous de celle-ci.

Points clés à retenir sur les inéquations

Isoler la variable est essentiel pour résoudre les inéquations.
Souvenez-vous d'inverser le signe de l'inégalité lors de la multiplication ou la division par un nombre négatif.
Pour les systèmes, il faut vérifier chaque in équation.
Les inéquations peuvent être représentées sur une droite réelle.
Les solutions d'inéquations quadratiques impliquent de comprendre les racines et les intervales de signe.
Les graphes des équations peuvent aider à visualiser les solutions.
Les systèmes d'inéquations peuvent avoir des solutions uniques ou multiples.
Les limites de la variable sont souvent des points critiques.
L'utilisation de tests de valeurs est un bon moyen de vérifier vos résultats.
Les inéquations peuvent également être résolues à l'aide de programmes informatiques ou de graphiques.

Définitions des termes utilisés

Inéquation : Une équation qui utilise des signes d'inégalité (\( <, >, \leq, \geq \)) au lieu d'un signe égal.
Solution : La valeur ou l'ensemble de valeurs qui satisfont l'inéquation.
Système d'inéquations : Un ensemble de deux ou plusieurs inéquations concernant les mêmes variables.
Inégalité stricte : Une inéquation qui utilise les signes \( < \) ou \( > \) (aucune égalité est autorisée).
Inégalité non stricte : Une inéquation qui utilise les signes \( \leq \) ou \( \geq \) (l'égalité est incluse).

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