Inéquations à une variable exercices corrigés pour débutants
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Exercice sur les inéquations à une variable
Cet exercice se concentre sur la résolution d’inéquations à une variable. L’élève doit répondre aux questions en résolvant chaque inéquation et en les représentant graphiquement.- Question 1 : Résoudre l'inéquation \(2x - 4 > 0\).
- Question 2 : Résoudre \(3x + 5 \leq 2x + 4\).
- Question 3 : Résoudre l'inéquation \(-x + 1 > 3\).
- Question 4 : Trouver les solutions de \(x^2 - 4 < 0\).
- Question 5 : Représenter graphiquement les solutions des inéquations 2 et 4.
Règles et méthodes pour résoudre les inéquations
- Isoler la variable d'un côté de l'inéquation.
- Maintenir l'inégalité lors de l'ajout ou de la soustraction.
- Inverser l'inégalité lors de la multiplication ou la division par un nombre négatif.
- Identifier les points critiques (solutions des équations associées).
- Utiliser un tableau de signes pour déterminer le signe de l'expression.
Indications utiles pour la résolution d'inéquations
- Pour les inéquations de type \(ax + b > 0\), commencez par isoler \(x\).
- Tracez une droite numérique pour visualiser les solutions.
- Pour les inéquations quadratiques, factorisez si possible.
- Prêtez attention aux valeurs qui annulent l'expression.
- Considérez les intervalles définis par les points critiques.
Solutions détaillées des questions
Question 1 : Résoudre \(2x - 4 > 0\).
Pour résoudre cette inéquation, effectuons les étapes suivantes :
1. Ajouter 4 des deux côtés : \(2x > 4\)
2. Diviser par 2 : \(x > 2\)
La solution est \(x \in ]2, +\infty[\).
Question 2 : Résoudre \(3x + 5 \leq 2x + 4\).
1. Soustraire \(2x\) et 5 : \(x \leq -1\)
La solution est \(x \in ]-\infty, -1]\).
Question 3 : Résoudre \(-x + 1 > 3\).
1. Soustraire 1 des deux côtés : \(-x > 2\)
2. Multiplier par -1 (inverser l'inégalité) : \(x < -2\)
La solution est \(x \in ]-\infty, -2[\).
Question 4 : Trouver les solutions de \(x^2 - 4 < 0\).
Cette inéquation correspond à \(x^2 < 4\), donc nous factorisons :
\((x - 2)(x + 2) < 0\)
Les points critiques sont \(x = -2\) et \(x = 2\). En utilisant un tableau de signes, nous trouvons que la solution est \(x \in (-2, 2)\).
Question 5 : Représenter graphiquement les solutions des inéquations 2 et 4.
Points clés à retenir sur les inéquations
- Les solutions d'une inéquation peuvent être des intervalles.
- Un tableau de signes aide à visualiser les solutions.
- Les inégalités doivent être manipulées avec prudence, surtout lors de la multiplication par des négatifs.
- Les équations linéaires et quadratiques peuvent être liées à des inéquations.
- Chaque solution doit être testée dans l’inéquation d’origine.
- Des représentations graphiques facilitent la compréhension des solutions.
- La notation d'intervalle est utilisée pour exprimer des solutions continues.
- Les solutions d'inéquations peuvent inclure l'égalité ou non selon le symbole.
- Les inéquations peuvent également être résolues à l'aide de méthodes graphiques.
- Il est essentiel de respecter les règles de manipulation des inégalités à chaque étape.
Définitions et termes utilisés
- Inéquation : Relation de comparaison entre deux expressions où l'une est supérieure ou inférieure à l'autre.
- Intervalle : Ensemble des nombres compris entre deux bornes (ex: \((a, b)\)).
- Tableau de signes : Outil pour déterminer les signes des expressions entre les points critiques.
- Point critique : Valeur où une expression change de signe ou est égale à zéro.
- Équation associée : Équation obtenue en remplaçant l'inégalité par une égalité.
Systèmes d'inéquations exercices corrigés et solutions 
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