Résolution d'inéquations exercices corrigés avancés

Améliorez vos compétences avec nos exercices corrigés avancés sur la résolution d'inéquations, adaptés pour les étudiants en lycée et collège.

Exercice Avancé sur la Résolution d'Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes et représenter graphiquement les solutions.

1. Résoudre l'inéquation \(3x - 5 < 7\).
2. Résoudre l'inéquation \(-2x + 1 \geq 3\).
3. Résoudre l'inéquation \((x - 1)(x + 2) < 0\).
4. Résoudre l'inéquation \(\frac{x + 5}{x - 2} > 0\).
5. Résoudre l'inéquation \(x^2 - 4x + 3 \leq 0\).

Règles de Résolution d'Inéquations

Pour une inéquation du type \(ax + b < c\), isolez \(x\) : \(ax < c - b\).
Inverser le signe de l'inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.
Pour les produits ou quotients, étudiez les signes des facteurs pour déterminer les intervalles de solutions.
Utilisez des tests de signes pour déterminer les solutions.
Représentez graphiquement les solutions d’inéquations rationnelles et quadratiques.

Indications pour la Résolution

Pensez à d'abord simplifier chaque côté de l'inéquation.
Pour les polynomes, factorisez si possible pour analyser les racines.
Utilisez la technique de la droite numérique pour les inéquations du second degré.
N'oubliez pas d'utiliser des parenthèses lors de l'analyse des signes.

Corrections Détaillées des Exercices

1. Résoudre \(3x - 5 < 7\)

Représentation graphique :

2. Résoudre \(-2x + 1 \geq 3\)

\begin{align*} -2x + 1 &\geq 3 \\ -2x &\geq 3 - 1 \\ -2x &\geq 2 \\ x &\leq -1 \quad \text{(inverse l'inégalité)} \end{align*}

Représentation graphique :

3. Résoudre \((x - 1)(x + 2) < 0\)

Les racines sont \(x = 1\) et \(x = -2\). Testons les intervalles : \begin{itemize} \item \(x < -2\) : positif \item \(-2 < x < 1\) : négatif (solution) \item \(x > 1\) : positif \end{itemize} Donc, \( -2 < x < 1\).

Représentation graphique :

4. Résoudre \(\frac{x + 5}{x - 2} > 0\)

Les valeurs critiques sont \(x = -5\) et \(x = 2\) : \begin{itemize} \item \(x < -5\) : positif \item \(-5 < x < 2\) : négatif \item \(x > 2\) : positif \end{itemize} Donc, \(x < -5\) ou \(x > 2\) (pas \(x = 2\)).

Représentation graphique :

5. Résoudre \(x^2 - 4x + 3 \leq 0\)

\p{ On factorise : \((x - 1)(x - 3) \leq 0\). \begin{itemize} \item \(x = 1\) et \(x = 3\). \item Pour \(1 \leq x \leq 3\) : solution. \end{itemize} } Représentation graphique :

Points Clés à Retenir

Inverser le signe lors de la multiplication par un négatif.
Utilisez toujours des tests de signes pour les produits.
Représentez graphiquement pour une bonne compréhension.
Toujours vérifier les solutions extrêmes de l'intervalle.
Compréhension des racines et leurs impacts sur l'inéquation.

Définitions des Terres Utilisées

Inéquation : Relation mathématique qui compare deux expressions en utilisant des symboles tels que <, >, ≤, ≥.
Racine : Valeur de \(x\) qui annule l'expression lorsque mise dans l'équation.
Produit : Résultat de la multiplication de plusieurs facteurs.
Intervalle : Ensemble de valeurs comprises entre deux extrêmes.