Systèmes d'inéquations exercices corrigés et solutions

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Exercice sur les Systèmes d'Inéquations

Résoudre le système d'inéquations suivant : \[ \begin{cases} 2x + y \leq 10 \\ x - y \geq 3 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \]

D'abord, nous allons transformer les inéquations en équations pour les tracer :

1. Pour \(2x + y = 10\) → \(y = 10 - 2x\)

2. Pour \(x - y = 3\) → \(y = x - 3\)

Tracez les équations sur un graphique :

Les lignes se croisent à \( (4, 2) \). Pour les autres inéquations :

Soit \(x \geq 0\), cela signifie que la partie au-dessus de l'axe \(y\) est prise en compte.

Soit \(y \geq 0\), cela signifie que la partie à droite de l'axe \(x\) est également prise en compte.

Nous devons donc observer dans quelle région les deux inéquations se croisent dans le premier quadrant.

En vérifiant les coins de la région obtenue, \( (0, 10), (4, 2), (0, 0), (0, 3) \), nous trouvons les solutions.

Une inéquation représente une demi-plan dans le plan coordinateur.
Le système d'inéquations est la zone d'intersection des demi-plans.
Les points de coin sont les candidats à la solution optimale.
Les inéquations peuvent souvent être converties en équations pour les tracer.
Utiliser des points de test aide à déterminer des zones de solution valides.
Il est important de prendre en compte les contraintes de non-négativité.
Les solutions peuvent être infinies pour certains systèmes.
Une solution doit respecter toutes les inéquations du système.
Il existe des méthodes graphiques et algébriques pour résoudre ces systèmes.
Les systèmes peuvent être linéaires ou non linéaires, affectant la méthode de résolution.

Pour un système d'inéquations, tracer les lignes correspondantes pour chacun.
Utiliser les points de test pour vérifier les zones de solution.
Si des contraintes de non-négativité existent, ajustez les graphiques en conséquence.
Utiliser la méthode du coin pour optimiser où c'est applicable.
Parfois simplifier les systèmes est possible avant de les résoudre.

Système d'inéquations : Un ensemble d'inéquations qui doivent être résolues simultanément.
Inéquation : Une expression mathématique indiquant que l'une des deux quantités est supérieure ou inférieure à l'autre.
Demi-plan : La région du plan qui est définie par une inéquation linéaire.
Point de test : Un point utilisé pour déterminer si une zone satisferait une inéquation donnée.
Région admissible : La zone qui satisfait toutes les inéquations d'un système donné.