Exercices corrigés sur les inéquations composées

Corrigé des exercices

Exercice 1

Résoudre l'inéquation composée : $$2x - 3 < 5$$ et $$x + 4 > 2$$**Solution :**1. Résolvons la première inéquation : \[ 2x - 3 < 5 \] Ajoutons 3 des deux côtés : \[ 2x < 8 \] En divisant par 2 : \[ x < 4 \]2. Résolvons la seconde inéquation : \[ x + 4 > 2 \] En soustrayant 4 des deux côtés : \[ x > -2 \]3. Les solutions sont donc : \[ -2 < x < 4 \]4. Visualisation sur la droite numérique :

Exercice 2

Résoudre l'inéquation : $$x^2 - 5x + 6 \leq 0$$**Solution :**1. Facteur l'expression : \[ (x - 2)(x - 3) \leq 0 \]2. Trouver les racines : $x = 2$ et $x = 3$.3. Analyser le signe de l'expression : - Pour $x < 2$: positif - Pour $2 \leq x \leq 3$: négatif ou nul - Pour $x > 3$: positif4. La solution est : \[ 2 \leq x \leq 3 \]

Exercice 3

Résoudre l'inéquation : $$3 - x > 1$$ ou $$2x + 1 < 5$$**Solution :**1. Pour la première inéquation : \[ 3 - x > 1 \rightarrow -x > -2 \rightarrow x < 2 \]2. Pour la seconde inéquation : \[ 2x + 1 < 5 \rightarrow 2x < 4 \rightarrow x < 2 \]3. Ainsi, la solution finale est : \[ x < 2 \]

Exercice 4

Résoudre $$\frac{x - 2}{x + 3} \leq 0$$**Solution :**1. Trouver les points critiques : $x = 2$ et $x = -3$ (détermine le signe).2. Analyser les intervalles : - Pour $x < -3$: positif - Entre $-3$ et $2$: négatif (incluant $-3$) - Pour $x > 2$: positif3. Solution : \[ -3 \leq x < 2 \]

Exercice 5

Résoudre $$2(x + 1) > 6$$ et $$3x - 2 < 4$$**Solution :**1. Première inéquation : \[ 2(x + 1) > 6 \rightarrow x + 1 > 3 \rightarrow x > 2 \]2. Seconde inéquation : \[ 3x - 2 < 4 \rightarrow 3x < 6 \rightarrow x < 2 \]3. Il n'y a pas de solution commune (contradiction) !