Résoudre des équations du second degré Exercices corrigés

Dominez les équations du second degré avec ces exercices corrigés. Parfait pour les élèves de collège et de lycée en quête de pratique.

Résoudre des Équations Quadratiques : Exercices Pratiques

Résolvez les équations quadratiques suivantes et trouvez les solutions :

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
\( 2x^2 - 4x - 1 = 0 \)
\( x^2 + x - 12 = 0 \)
\( 3x^2 + 6x + 2 = 0 \)
\( 5x^2 - 3x - 2 = 0 \)

Vérifiez si vous pouvez factoriser le trinôme.
Utilisez la formule quadratique lorsqu'une factorisation n'est pas évidente.
Pour les graphes, déterminez les points d'intersection avec l'axe des x.
Vérifiez votre travail en substituant les solutions dans l'équation d'origine.
N'oubliez pas d'identifier le discriminant (Δ) pour déterminer le nombre de solutions réelles.

Pour \( x^2 - 5x + 6 = 0 \), factorisons : \((x-2)(x-3)=0\). Les solutions sont \( x = 2 \) et \( x = 3 \).
Pour \( 2x^2 - 4x - 1 = 0 \), appliquez la formule quadratique \( x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

\( a = 2, b = -4, c = -1 \) alors \( x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} \)

\( x=\frac{4 \pm \sqrt{16+8}}{4}=\frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} \)

Solutions : \( x = 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \) et \( x = 1-\frac{\sqrt{6}}{2} \)
Pour \( x^2 + x - 12 = 0 \), factorisation : \((x-3)(x+4)=0\). Les solutions sont \( x = 3 \) et \( x = -4 \).
Pour \( 3x^2 + 6x + 2 = 0 \), formule quadratique :

\( a = 3, b = 6, c = 2 \) : \( x=\frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4 \times 3 \times 2}}{2 \times 3} \)

\( x=\frac{-6 \pm \sqrt{36-24}}{6}=\frac{-6 \pm \sqrt{12}}{6} \)

Simplifier : \( x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{3} \)

Solutions : \( x = \frac{-3+\sqrt{3}}{3} \) et \( x = \frac{-3-\sqrt{3}}{3} \)
Pour \( 5x^2 - 3x - 2 = 0 \), formule quadratique :

\( a = 5, b = -3, c = -2 \) : \( x=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 5 \times (-2)}}{2 \times 5} \)

\( x=\frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{10}=\frac{3 \pm \sqrt{49}}{10} \)

Solutions : \( x = \frac{3+7}{10} = 1 \) et \( x = \frac{3-7}{10} = -\frac{2}{5} \)

Les équations quadratiques ont la forme générale \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Le discriminant \( Δ = b^2 - 4ac \) détermine le nombre de solutions réelles.
Si \( Δ > 0 \), il y a deux solutions distinctes.
Si \( Δ = 0 \), il y a une solution unique (racine double).
Si \( Δ < 0 \), il n'y a pas de solution réelle mais des solutions complexes.
La formule quadratique pour résoudre est \( x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \).
Des équations peuvent être résolues par factorisation si c'est possible.
L'équation peut être visualisée comme un parabole sur un graphique.
Les points d'intersection avec l'axe des x sont les solutions.
La méthode choisie pour résoudre dépend de la forme du trinôme.

Équation Quadratique : \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Formule Quadratique : \( x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \).
Discriminant : \( \Delta = b^2 - 4ac \).
Factorisation possible si \((x-p)(x-q) = 0\) tel que \( p \) et \( q \) sont les racines.
Racines Réelles si \( \Delta \geq 0 \).