Analyse de fonctions Exercices corrigés et solutions
Approfondissez votre compréhension des fonctions avec des exercices corrigés. Idéal pour les collégiens et lycéens souhaitant aller plus loin.
Analyse d'une fonction quadratique : Exercice pratique
Dans cet exercice, nous allons étudier la fonction quadratique \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Vous allez apprendre à identifier les propriétés clés d'une fonction quadratique telle que les racines, le sommet, et l'axe de symétrie.- Déterminez l'axe de symétrie de la fonction quadratique \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \).
- Calculez les coordonnées du sommet de la fonction précédente.
- Trouvez les racines de la fonction quadratique.
- Tracez le graphe de la fonction.
- Discutez des intervalles de croissance et de décroissance.
Indications pour l'analyse de fonction quadratique
- Utilisez la formule de l'axe de symétrie : \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Les coordonnées du sommet sont données par \( (x, f(x)) \) en utilisant la valeur de l'axe de symétrie.
- Pour les racines, appliquez la formule quadratique : \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
- Pour tracer le graphe, identifiez quelques points et rejoignez-les en une parabole.
- Analysez le signe du coefficient \( a \) pour déterminer la concavité de la parabole.
Solutions détaillées pour l'analyse de fonction quadratique
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L'axe de symétrie est donné par \( x = -\frac{b}{2a} \). Pour notre fonction, \( a = 2 \) et \( b = -4 \), donc :
\( x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \)
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Les coordonnées du sommet sont \( (1, f(1)) \). Calculons \( f(1) \) :
\( f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \)
Le sommet est donc \( (1, -1) \).
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Les racines sont calculées avec la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Pour notre fonction :
\( x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} \)
\( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} \)
\( x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Les racines sont donc \( x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \).
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La fonction est décroissante de \(-\infty\) à \(1\) et croissante de \(1\) à \(+\infty\) car le coefficient \( a = 2 \) est positif et la parabole est orientée vers le haut.
10 Points clés à retenir sur les fonctions quadratiques
- Une fonction quadratique est de la forme \( ax^2 + bx + c \).
- L'axe de symétrie est \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie.
- Les racines peuvent être réelles ou complexes.
- Le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) détermine le nombre de racines réelles.
- La parabole s'ouvre vers le haut si \( a > 0 \) et vers le bas si \( a < 0 \).
- L'intersection avec l'axe y se situe à \( f(0) = c \).
- La vérification par substitution aide à confirmer les racines trouvées.
- Les intervalles de croissance et décroissance sont déterminés par le signe de \( a \).
- Les graphes quadratiques sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie.
Règles et formules pour l'analyse des fonctions quadratiques
- L'axe de symétrie : \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Formule du sommet : \( S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \).
- Formule quadratique : \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
- Discriminant : \( \Delta = b^2 - 4ac \).
- Relation entre les racines et les coefficients : \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) et \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).
- Calcul de \( f(x) \) : substituer \( x \) dans \( ax^2 + bx + c \).
- Symétrie : La parabole est symétrique par rapport à son axe de symétrie.
- Calcul du discriminant pour déterminer la nature des racines.
- Calcul des coordonnées du sommet pour tracer le graphe.
- Analyse de la concavité de la parabole selon le signe de \( a \).
Définitions importantes pour comprendre les fonctions quadratiques
- Fonction quadratique : Une fonction de la forme \( f(x) = ax^2 + bx + c \) où \( a, b, c \) sont des constantes et \( a \neq 0 \).
- Axe de symétrie : La ligne verticale passant par le sommet et divisant la parabole en deux parties égales.
- Sommet : Le point où la fonction quadratique atteint son maximum ou minimum.
- Racines : Les valeurs de \( x \) où \( f(x) = 0 \).
- Discriminant \( \Delta \) : Une expression déterminant la nature des racines d'une fonction quadratique.
- Concavité : Orientation de la parabole déterminée par le signe du coefficient \( a \).
- Parabole : La courbe obtenue en traçant une fonction quadratique.
- Intervalles de croissance : Les plages sur l'axe des x où la fonction augmente.
- Intervalles de décroissance : Les plages sur l'axe des x où la fonction diminue.
- Intersection avec l'axe y : Le point où le graphe touche l'axe des ordonnées, correspondant à \( x = 0 \).
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