Opérations sur les nombres réels exercices pratiques
Accédez à des exercices pratiques corrigés sur les opérations des nombres réels, idéaux pour renforcer vos connaissances en mathématiques.
Opérations sur les Nombres Réels : Exercices Pratiques pour le Lycée
Cet exercice vise à renforcer la compréhension des opérations sur les nombres réels à travers des problèmes concrets. Chaque question est accompagnée d'un corrigé détaillé et d'indications pour guider l'élève.- Simplifier l'expression suivante : \(2(3x - 4) - 5x + 8\).
- Résoudre l'équation : \(\frac{2}{3}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{6}\).
- Si \(a = 3\) et \(b = -2\), calculer \((2a - 3b)^2\).
- Trouver l'inverse de \(-\frac{5}{8}\).
- Représenter sur une droite numérique l'ensemble des solutions de l'inéquation \(x - 3 \geq 2x + 1\).
Indications pour Réaliser les Exercices sur les Nombres Réels
- Pour simplifier, distribuez les nombres et combinez les termes semblables.
- Utilisez les opérations inverses pour isoler \(x\) dans l'équation.
- Remplacez les variables par leurs valeurs et calculez.
- Rappelez-vous qu'inverser un nombre, c'est trouver son opposé dans la division.
- Pour l'inéquation, réorganisez les termes et utilisez une représentation graphique.
Solutions Détaillées des Exercices sur les Nombres Réels
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Simplification de \(2(3x - 4) - 5x + 8\) : \[ \begin{aligned} & = 2 \cdot 3x - 2 \cdot 4 - 5x + 8 \\ & = 6x - 8 - 5x + 8 \\ & = (6x - 5x) + (-8 + 8) \\ & = x. \end{aligned} \]
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Résolution de \(\frac{2}{3}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{6}\) : \[ \begin{aligned} \text{Soustrayons } \frac{1}{4} : & \frac{2}{3}x = \frac{7}{6} - \frac{1}{4} \\ \text{Calculons } \frac{7}{6} - \frac{1}{4} : & = \frac{14}{12} - \frac{3}{12} = \frac{11}{12} \\ \text{Multiplications croisées} : & 2x = \frac{11}{12} \times 3 \\ & x = \frac{11}{8}. \end{aligned} \]
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Calcul de \((2a - 3b)^2\), où \(a = 3\) et \(b = -2\) : \[ \begin{aligned} (2 \times 3 - 3 \times -2)^2 & = (6 + 6)^2 \\ & = 12^2 \\ & = 144. \end{aligned} \]
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L'inverse de \(-\frac{5}{8}\) est donné par : \[ -\frac{8}{5}. \]
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Pour l'inéquation \(x - 3 \geq 2x + 1\) : \[ \begin{aligned} x - 2x & \geq 1 + 3 \\ -x & \geq 4 \\ x & \leq -4. \end{aligned} \]
graph TD; A[Nombre sur la droite numérique] -->|x <= -4| B[Solutions]
Points Clés à Retenir sur les Opérations des Nombres Réels
- La distribution est essentielle pour simplifier les expressions.
- Utiliser les opérations inverses pour résoudre les équations.
- Remplacer correctement les variables par leurs valeurs.
- Connaître bien les règles de l'inverse d'un nombre.
- Analyser les inégalités par réorganisation des termes.
- Les solutions des inéquations peuvent être représentées graphiquement.
- Combiner les termes semblables efficacement pour simplifier.
- S’assurer de vérifier les solutions trouvées.
- Comprendre comment distribuer les coefficients sur les parenthèses.
- Savoir travailler avec des fractions pour atteindre un résultat correct.
Règles et Formules pour les Nombres Réels
- La règle de distribution : \(a(b + c) = ab + ac\).
- Pour résoudre \(\frac{a}{b}x = c\), multipliez par l'inverse de \(b\).
- Inverser une fraction implique l'inversion de numérateur et dénominateur.
- Équilibrer les deux côtés de l'équation reste crucial pour les solutions.
- Les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Définitions des Termes Utilisés dans les Nombres Réels
- Nombre Réel : Tous les nombres sur la droite numérique, incluant les rationnels et irrationnels.
- Inverse : Opposé dans le cadre de la multiplication, pour \(a\), c'est \(\frac{1}{a}\).
- Simplification : Réduire une expression à sa forme la plus simple.
- Équation : Une affirmation mathématique où deux expressions sont égales.
- Inéquation : Une expression exprimant une inégalité entre deux valeurs ou plus.
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