Exercices avancés sur les systèmes d'équations linéaires corrigés
Mettez au défi vos compétences avec ces exercices avancés corrigés sur les systèmes d'équations linéaires. Parfait pour les étudiants sérieux en mathématiques.
Résoudre des systèmes linéaires à trois inconnues
Dans cet exercice, nous allons explorer des systèmes d'équations linéaires à trois inconnues. Ces systèmes sont courants en algèbre et sont essentiels pour comprendre comment plusieurs variables interagissent côte à côte. Nous nous intéresserons à cinq questions qui permettront de consolider vos compétences.Indications utiles pour résoudre les systèmes d'équations linéaires
- Identifiez chaque équation du système.
- Trouvez une méthode appropriée pour résoudre (substitution, élimination, matrices).
- Vérifiez les solutions en les substituant dans les équations originales.
- Utilisez des outils graphiques pour visualiser les intersections des plans représentés par les équations.
- Soyez attentif aux systèmes qui peuvent être dépendants ou inconsistants.
Détails des solutions aux systèmes d'équations linéaires
Considérons le système suivant:
\[ \begin{align*} 2x + y - z &= 1 \\ x - y + 2z &= 3 \\ 3x + y + z &= 2 \end{align*} \]
Étape 1 : Choisissez la méthode d'élimination pour réduire le nombre d'inconnues. Soustrayons la première équation de la troisième:
\[ ((3x + y + z) - (2x + y - z) = 2 - 1) \Rightarrow x + 2z = 1 \]
Étape 2 : Utilisez cette nouvelle équation avec la deuxième équation. Multiplions la deuxième équation par 2 pour éliminer \( z \):
\[ 2(x - y + 2z) = 2 \times 3 \quad \Rightarrow \quad 2x - 2y + 4z = 6 \]
Étape 3 : Subtract this from \((x + 2z = 1)\):
\[ (2x - 2y + 4z) - (2x + 0 - 2z) = 6 - 1 \quad \Rightarrow \quad -2y + 2z = 5 \]
Étape 4 : Trouvez \( y \) et \ (z) en utilisant l'équation simplifiée:
Simplifions : \( -2y + 2z = 5 \) devient:
\[ y - z = -\frac{5}{2} \]
Étape 5 : Enfin, résolvez pour \ (x) en substituant \( z = y + \frac{5}{2} \) dans les équations simplifiées.
Résumons la solution de ce système:
- \( x = \frac{1}{5}, y = 3, z=\frac{7}{5} \)Points essentiels à retenir sur les systèmes d'équations linéaires
- Les systèmes d'équations peuvent avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
- Les méthodes de substitution et d'élimination sont basiques mais essentielles.
- Les matrices et opérations matricielles facilitent la résolution de grands systèmes.
- Les graphiques aident à visualiser l'emplacement et le type de solutions.
- La cohérence du système est cruciale pour déterminer la solution.
Règles et méthodes pour les systèmes linéaires
- Formule d'élimination: Combinez les équations pour éliminer une variable.
- Règle de substitution: Résolvez une équation pour une variable et substituez.
- Théorie des matrices: Utilisez l'inverse matricielle pour résoudre.
- Identifiez les équations dépendantes pour une solution unique.
- Simplifiez les systèmes avec plus d'équations qu'inconnues grâce au pivot de Gauss.
Définitions importantes des systèmes d'équations linéaires
- Système cohérent : Un système avec au moins une solution.
- Système inconsistant : Aucun point d'intersection entre les solutions.
- Système dépendant : Infinité de solutions car les équations sont multiples.
- Système indépendant : Une solution unique.
- Matrice: Une organisation rectangulaire de nombres représentant un système.
- Inverse matricielle : Une matrice qui, multipliée par une matrice donnée, produit l'identité.
Ressources d'exercices corrigés pour systèmes d'équations