Ressources d'exercices corrigés pour systèmes d'équations
Explorez notre collection de ressources d'exercices corrigés sur les systèmes d'équations linéaires. Familiarisez-vous avec les techniques de résolution.
Résoudre un système d'équations linéaires 2x2
Nous allons étudier la résolution de systèmes d'équations linéaires à deux inconnues à travers un exercice détaillé. Voici un système d'équations à résoudre :
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x - y = 5 \end{cases} \]Indications pour résoudre un système d'équations linéaires 2x2
- Isoler une variable dans l'une des équations.
- Substituer cette expression dans l'autre équation.
- Résoudre l'équation obtenue pour découvrir une des inconnues.
- Substituer la solution trouvée dans l'une des équations originales pour obtenir l'autre inconnue.
Solution détaillée d'un système d'équations linéaires 2x2
1. Premièrement, nous allons isoler \( y \) dans la première équation :
\[ 3y = 6 - 2x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{6 - 2x}{3} \]
2. Nous substituons cette expression de \( y \) dans la seconde équation :
\[ 4x - \left(\frac{6 - 2x}{3}\right) = 5 \]
3. Pour résoudre cette équation, multiplions tout par 3 pour se débarrasser du dénominateur :
\[ 12x - (6 - 2x) = 15 \quad \Rightarrow \quad 12x - 6 + 2x = 15 \]
\[ 14x = 21 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} \]
4. Substituez \( x = \frac{3}{2} \) dans l'expression de \( y \) :
\[ y = \frac{6 - 2\left(\frac{3}{2}\right)}{3} = \frac{6 - 3}{3} = 1 \]
La solution du système est \( x = \frac{3}{2},\, y = 1 \).
Principaux points à retenir pour les systèmes d'équations linéaires
- Un système d'équations linéaires à 2 inconnues peut avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
- L'isolation d'une variable est une méthode clé pour simplifier le système.
- La substitution est une technique efficace pour réduire le nombre d'inconnues.
- Il est important de vérifier la solution dans les deux équations originales.
- Comprendre la signification géométrique : chaque équation représente une ligne sur un graphique.
- Le point d'intersection des deux lignes est la solution du système.
- Les méthodes algébrique et graphique doivent donner les mêmes résultats.
- Utiliser des tableaux de valeurs peut aider à vérifier visuellement la solution.
- Les systèmes peuvent être représentés sous forme matricielle pour les solutions numériques.
- La bonne pratique des situations pratiques vient avec l'expérience et l'exercice continu.
Règles et formules pour résoudre les systèmes d'équations
- Passez d'un système d'équations à un système triangulaire pour simplifier.
- Les méthodes de substitution et d'élimination sont les plus utilisées.
- Utiliser la règle de Cramer pour les systèmes avec déterminant non nul ≥2.
- La résolution graphique offre une vérification visuelle.
- Utilisation des matrices pour représenter et résoudre des systèmes plus complexes.
- Vérifiez la cohérence : écritures simplifiées doivent mener à la même solution.
Définitions des termes clés utilisés dans les systèmes d'équations
- Système d'équations : Un ensemble de deux ou plusieurs équations avec un même ensemble d'inconnues.
- Solution : Les valeurs des inconnues qui satisfont simultanément toutes les équations du système.
- Équation linéaire : Une équation d'abord du type \(ax + by = c\).
- Substitution : Remplacer une variable par son équivalent algébrique provenant d'une autre équation.
- Élimination : Processus de suppression d'une variable pour réduire le nombre d'inconnues.
- Intersection : Le point où les graphiques des équations se croisent, représentant la solution du système.
