Guide complet Exercices corrigés sur les systèmes d'équations
Un guide complet des exercices corrigés sur les systèmes d'équations linéaires pour les élèves de lycée et de collège. Révisez efficacement avec des solutions claires.
Systèmes d'équations linéaires : Guide complet
Un système de deux équations linéaires avec deux inconnues peut être résolu par différentes méthodes. Considérons le système suivant :\[ \begin{align*} 2x + 3y &= 12 \\ 4x - y &= 5 \end{align*} \]
Questions :- Résoudre le système par la méthode de substitution.
- Résoudre le système par la méthode d'élimination.
- Représenter graphiquement les deux équations.
- Discuter si le système a une solution unique, aucune ou une infinité de solutions.
- Résoudre le système par la méthode des matrices.
Règles et méthodes pour résoudre des systèmes d'équations
- La méthode de substitution consiste à exprimer une variable en fonction de l'autre et à substituer.
- La méthode d'élimination consiste à additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.
- Pour la représentation graphique, tracer les deux équations sur le même graphique.
- Un système a une solution unique s'il se croise en un point, aucune solution s'ils sont parallèles, et une infinité si les deux équations sont identiques.
- La méthode des matrices utilise la notation matricielle et la réduction pour résoudre le système.
Indications pour résoudre les systèmes d'équations
- Choisissez une méthode avec laquelle vous êtes le plus à l'aise.
- Vérifiez vos solutions en les substituant dans les équations d'origine.
- Lorsque vous tracez des graphiques, assurez-vous d'utiliser des échelles appropriées.
- Pour la méthode des matrices, soyez à l'aise avec les opérations élémentaires sur les lignes.
- Si une variable est facilement isolable, utilisez la méthode de substitution.
Solutions détaillées des questions
Question 1 : Méthode de substitution
À partir de la première équation, exprimons y :
\[ 3y = 12 - 2x \Rightarrow y = \frac{12 - 2x}{3} \]
En substituant dans la deuxième équation :\[ 4x - \frac{12 - 2x}{3} = 5 \]
En multipliant par 3 pour éliminer le dénominateur :\[ 12x - (12 - 2x) = 15 \Rightarrow 12x - 12 + 2x = 15 \Rightarrow 14x = 27 \Rightarrow x = \frac{27}{14} \]
En remplaçant x dans l'équation pour y :\[ y = \frac{12 - 2\left(\frac{27}{14}\right)}{3} = \frac{12 - \frac{54}{14}}{3} = \frac{168 - 54}{42} = \frac{114}{42} = \frac{57}{21} \]
Question 2 : Méthode d'élimination
On multiplie la première équation par 1 et la deuxième par 3 :\[ \begin{align*} & 2x + 3y = 12 \quad (1)\\ & 12x - 3y = 15 \quad (2) \end{align*} \]
En ajoutant les deux équations, on élimine y :\[ 14x = 27 \Rightarrow x = \frac{27}{14} \end{align*} \]
Question 3 : Représentation graphique
Nous allons dessiner les deux équations. Les coordonnées des points d'intersection indiquent la solution du système.
Question 4 : Discussion sur les solutions
Le système a une solution unique car les graphiques des deux équations se croisent en un point unique.
Question 5 : Méthode des matrices
Le système peut aussi être écrit sous forme matricielle :\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 5 \end{bmatrix} \]
En utilisant l'inverse de la matrice, on peut trouver les solutions comme :\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 12 \\ 5 \end{bmatrix} \]
Ce qui nous donnerait également les mêmes valeurs pour \(x\) et \(y\).Points clés à retenir sur les systèmes d'équations
- Comprendre les différentes méthodes de résolution.
- Être capable de représenter graphiquement les équations.
- Identifier le type de solution d'un système.
- Utiliser des matrices pour résoudre des systèmes complexe.
- Vérifier les solutions dans les équations d'origine.
- Utiliser les coordonnées et échelles correctes lors du traçage.
- Reconnaître des cas particuliers dans les systèmes.
- Garder une méthodologie claire pour chaque méthode.
- Interpréter les résultats en fonction du contexte.
- Pratiquer avec divers exemples pour renforcer la compréhension.
Définitions clés des termes utilisés
- Système d'équations : Ensemble de deux ou plusieurs équations ayant des variables communes.
- Solution unique : Un seul ensemble de valeurs qui satisfont toutes les équations d'un système.
- Aucune solution : Les équations sont contradictoires et ne se croisent jamais.
- Infinité de solutions : Les équations sont identiques, donc ont une infinité de points solutions.
- Méthode de substitution : Technique permettant d'isoler une variable dans une équation et de la substituer dans une autre.
- Méthode d'élimination : Manipulation arithmétique des équations pour éliminer une variable.
- Matrice : Tableau rectangulaire de nombres organisé en lignes et colonnes.
- Inverse d'une matrice : Matrice qui, multipliée par une matrice donnée, donne la matrice unité.
- Graphique : Représentation visuelle d'équations sur un plan cartésien.
- Équation linéaire : Équation qui représente une droite dans un plan.
