Exercices d'application sur les systèmes d'équations avec corrigés

Des exercices d'application avec corrigés sur les systèmes d'équations linéaires, pour comprendre comment les concepts algébriques se traduisent dans des problèmes pratiques.

Exercices d'application sur les systèmes d'équations

Résoudre les systèmes d'équations suivants. Pour chaque question, indiquez la méthode employée (substitution, élimination, ou graphique) et justifiez vos réponses.

Résoudre le système suivant : $$ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x - y = 5 \end{cases} $$
Résoudre le système suivant : $$ \begin{cases} x + 2y = 10 \\ 3x - y = 5 \end{cases} $$
Résoudre le système suivant : $$ \begin{cases} 5x + 2y = 20 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases} $$
Utiliser la méthode graphique pour résoudre : $$ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases} $$
Résoudre le système suivant en utilisant la méthode de substitution : $$ \begin{cases} y = 3x - 2 \\ 4x + y = 12 \end{cases} $$

N9"/>

Règles et méthodes pour résoudre les systèmes d'équations

La méthode de substitution consiste à exprimer une variable en fonction de l'autre et à la substituer dans l'autre équation.
La méthode d'élimination consiste à additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.
La méthode graphique consiste à tracer les équations sur un graphique et à identifier le point d'intersection.
Un système d’équations possède une solution s’il y a un point d’intersection unique.
Un système d’équations peut être compatible de manière unique, compatible indéfiniment, ou incompatible (pas de solution).

Indications pour résoudre les systèmes d'équations

Identifiez les coefficients de chaque équation.
Vérifiez les écarts des coefficients lors de l’utilisation de la méthode d’élimination.
Pour la méthode graphique, choisissez des valeurs de x pour tracer les lignes.
Assurez-vous que vos calculs sont précis à chaque étape.
Vérifiez toujours votre solution en substituant les valeurs dans les équations originales.

Solutions détaillées des exercices

Question 1 :

Résolvons le système : $$ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x - y = 5 \end{cases} $$

Utilisons la méthode d'élimination. Multiplions la première équation par 2 : $$ \begin{cases} 4x + 6y = 12 \\ 4x - y = 5 \end{cases} $$

En soustrayant la deuxième équation de la première, nous obtenons : $$ (4x + 6y) - (4x - y) = 12 - 5 $$ $$ 7y = 7 \implies y = 1 $$

En substituant $ y = 1 $ dans la première équation : $$ 2x + 3(1) = 6 \implies 2x + 3 = 6 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5 $$

La solution est $ (1.5, 1) $.

Question 2 :

Pour le système : $$ \begin{cases} x + 2y = 10 \\ 3x - y = 5 \end{cases} $$

Utilisons la méthode de substitution. De la première équation, nous avons : $$ x = 10 - 2y $$

En substituant dans la deuxième équation : $$ 3(10 - 2y) - y = 5 \implies 30 - 6y - y = 5 $$ $$ -7y = -25 \implies y = \frac{25}{7} $$

En substituant $ y = \frac{25}{7} $ dans $ x = 10 - 2y $: $$ x = 10 - 2\left(\frac{25}{7}\right) = 10 - \frac{50}{7} = \frac{70}{7} - \frac{50}{7} = \frac{20}{7} $$

La solution est $ \left(\frac{20}{7}, \frac{25}{7}\right) $.

Question 3 :

Pour le système : $$ \begin{cases} 5x + 2y = 20 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases} $$

Utilisons la méthode d'élimination. Multipliant la première équation par 3 et la seconde par 2 : $$ \begin{cases} 15x + 6y = 60 \\ 4x + 6y = 24 \end{cases} $$

En soustrayant la deuxième de la première : $$ 15x + 6y - (4x + 6y) = 60 - 24 $$ $$ 11x = 36 \implies x = \frac{36}{11} $$

En substituant $ x = \frac{36}{11} $ dans la première équation : $$ 5\left(\frac{36}{11}\right) + 2y = 20 $$ $$ \frac{180}{11} + 2y = 20 \implies 2y = 20 - \frac{180}{11} = \frac{220 - 180}{11} = \frac{40}{11} \implies y = \frac{20}{11} $$

La solution est $ \left(\frac{36}{11}, \frac{20}{11}\right) $.

Question 4 :

Pour résoudre graphiquement le système : $$ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases} $$

En traçant ces deux équations, nous trouvons leur point d'intersection.

Question 5 :

Pour le système : $$ \begin{cases} y = 3x - 2 \\ 4x + y = 12 \end{cases} $$

Utilisons la substitution. En substituant $ y = 3x - 2 $ dans la deuxième équation : $$ 4x + (3x - 2) = 12 $$ $$ 7x - 2 = 12 \implies 7x = 14 \implies x = 2 $$

En substituant $ x = 2 $ pour trouver $ y $: $$ y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 $$

La solution est $ (2, 4) $.

Points clés à retenir sur les systèmes d'équations

Un système d'équations linéaires peut avoir une, aucune ou une infinité de solutions.
La méthode de substitution est utile pour les systèmes simples.
La méthode d'élimination est efficace pour des systèmes plus complexes.
La représentation graphique aide à visualiser le problème.
Les coefficients d’un système d’équations déterminent sa nature.
La vérification des solutions est essentielle.
Un système avec des lignes parallèles n'a pas de solution.
Les systèmes identiques ont une infinité de solutions.
Les solutions des systèmes d'équations sont des points d'intersection.
Les fractions dans les solutions sont courantes, et doivent être interprétées avec soin.

Définitions des termes utilisés

Système d'équations : Un ensemble d'équations à plusieurs inconnues.
Solution : Un ensemble de valeurs pour les inconnues qui satisfait toutes les équations du système.
Élimination : Méthode pour réduire un système à une seule équation en éliminant les variables.
Substitution : Méthode consistant à exprimer une variable en fonction d'une autre.
Méthode graphique : Représentation visuelle des équations pour trouver des intersections.
Compatible : Système qui possède une ou plusieurs solutions.
Incompatible : Système qui n'a pas de solution.
Infinité de solutions : Système dont toutes les solutions coïncident sur une même droite.
Point d'intersection : Point où deux lignes se croisent sur un graphique.
Coefficient : Un nombre qui multiplie une variable dans une équation.

Exercices d'application sur les systèmes d'équations avec corrigés