Exercices simples corrigés sur la continuité des fonctions

Découvrez nos exercices corrigés simples sur la continuité des fonctions pour renforcer vos bases en mathématiques au niveau lycée et collège.

Dans cet exercice, vous allez explorer divers problèmes de continuité des fonctions. Répondez aux questions suivantes :

Définir la continuité d'une fonction en un point.
Vérifier si la fonction \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) est continue en \( x = 1 \).
Déterminer si \( g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2 & \text{si } x = 0 \\ x + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \) est continue en \( x = 0 \).
Expliquer le théorème de la continuité composée.
Donner un exemple d'une fonction continue sur un intervalle fermé.
Tracer les graphiques de \( h(x) = \sin(x) \) et \( k(x) = |x| \) et montrer leur continuité.
Discuter des implications de la continuité sur la dérivabilité d'une fonction.

76:69<;>784"/>

Règles de continuité des fonctions

Une fonction \( f \) est continue en \( a \) si :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
Le théorème des limites : Si \( f \) est continue en \( a \) et que \( g \) est continue en \( f(a) \), alors la fonction composée \( g(f(x)) \) est continue en \( a \).
Les fonctions polynomiales et les fonctions exponentielles sont continues sur \(\mathbb{R}\).
La somme, le produit et le quotient de fonctions continues (où le dénominateur n'est pas zéro) sont également continues.

Pour vérifier la continuité, calculez les limites à gauche et à droite d'un point.
Utilisez des graphiques pour visualiser les points de discontinuité.

Une fonction \( f \) est continue en un point \( a \) si :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
Pour vérifier la continuité de \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) en \( x = 1 \) :
Calculons la limite: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \] En factorisant: \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \] Donc, \( f(1) \) n’est pas défini, donc \( f(x) \) n'est pas continue en \( x = 1 \).
Pour \( g(x) \): vérifions les limites à \( x = 0 \):
\[ \lim_{x \to 0^-} g(x) = 0^2 = 0 \] \[ \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 + 1 = 1 \] Les limites ne sont pas égales, donc \( g(x) \) n'est pas continue en \( x = 0 \).
Le théorème de continuité composée dit que si les fonctions \( f \) et \( g \) sont continues, alors \( g(f(x)) \) l'est aussi.
Un exemple est \( f(x) = x^2 \) sur l'intervalle \( [0, 1] \). Elle est continue partout sur cet intervalle.
La continuité d'une fonction ne garantit pas sa dérivabilité, un contre-exemple est \( f(x) = |x| \) à \( x = 0 \).

La continuité assure que les petites variations de \( x \) entraînent de petites variations de \( f(x) \).
Une fonction est continue en un point de \( \mathbb{R} \) si elle est continue à gauche et à droite en ce point.
Les discontinuités peuvent être de type saut, infinie ou de point.
La fonction \( \sin(x) \) est continue sur tout \( \mathbb{R} \).
La somme et le produit de fonctions continues sont continues.

Continuité : Propriété d'une fonction pour laquelle la valeur de \( f(x) \) ne varie pas abruptement.
Limite : Valeur vers laquelle une fonction approche lorsque \( x \) approche un certain point.
Discontinuité : Point où une fonction n'est pas continue.