Problèmes intermédiaires Continuité des fonctions résolus

Relevez le défi avec nos problèmes intermédiaires corrigés sur la continuité des fonctions pour améliorer vos compétences en analyse au lycée.

Téléchrger le PDF Document

Exercice sur la Continuité des Fonctions

Dans cet exercice, nous allons examiner des problèmes intermédiaires sur la continuité des fonctions. L'objectif est de comprendre et d'appliquer le concept de continuité ainsi que l'identification des points de discontinuité. Voici les questions à traiter :

Question 1 : Déterminer si la fonction \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) est continue en \( x = 2 \).
Question 2 : Que se passe-t-il pour la fonction \( g(x) = \sqrt{x - 1} \) en \( x = 1 \) ?
Question 3 : Étudiez la continuité de la fonction \( h(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \) en \( x = 0 \).
Question 4 : Graphiquement, représentez la fonction \( k(x) = |x| \) et discutez de sa continuité.

Règles de Continuité des Fonctions

Une fonction est continue en un point \( a \) si :
- La fonction est définie en \( a \)
- La limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( a \) existe
- La limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( a \) est égale à \( f(a) \)
Les fonctions polynomiales sont continues partout.
Les fonctions rationnelles sont continues là où elles sont définies.
Les racines carrées sont continues pour les valeurs où l'argument est positif.

graph TD; A[« x = a »] --> B[« La fonction est définie »]; A --> C[« Limite existe »]; A --> D[« Limite = f(a) »]; B --> E[« Fonction continue »]

Indications pour Résoudre les Problèmes de Continuité

Pour vérifier la continuité en un point, commencez par substituer ce point dans l'expression de la fonction.
Pour les fonctions rationnelles, identifiez les points où le dénominateur est zéro.
Pensez à la définition de la limite à gauche et à droite lorsque vous examinez les points de changement.
Utilisez des graphiques pour visualiser le comportement de la fonction autour des points critiques.

Solution Détail des Questions

Question 1 : Continuité de \( f(x) \)

On a \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). Factorisant, on obtient :

\( f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \, \text{ pour } x \neq 2 \)

La limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers 2 est :

\( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \)

Mais \( f(2) \) n’est pas défini, donc \( f \) n'est pas continue en \( x = 2 \).

Question 2 : Continuité de \( g(x) \)

Pour \( g(x) = \sqrt{x - 1} \), on note :

\( g(1) = \sqrt{1 - 1} = 0 \), et on a besoin d'une limite :

\( \lim_{x \to 1^+} g(x) = 0 \Rightarrow g(x) \text{ est continue en } x = 1 \text{ mais } g(x) \text{ n'est pas défini pour } x < 1. \end{p}

Question 3 : Continuité de \( h(x) \)

Pour \( h(x) \) et \( x = 0 \) :

À gauche : \( \lim_{x \to 0^-} h(x) = 2 \)

À droite : \( \lim_{x \to 0^+} h(x) = 0 \)

Comme les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, \( h(x) \) n'est pas continue à \( x = 0 \).

Question 4 : Graphique de \( k(x) = |x| \)

La fonction \( k(x) \) est continue sur tous les réels.

Points Clés sur la Continuité des Fonctions

Assurez-vous que la fonction est définie en un point pour évaluer sa continuité.
Pour les discontinuités, identifiez la forme de la fonction.
Les limites doivent être égales pour établir la continuité.
Utilisez des représentations graphiques pour une meilleure compréhension.
Les polynômes et les fonctions trigonométriques sont généralement continues.
Attention aux points d'ascension ou de descente rapide (asymptotes).
Le concept de continuité est essentiel pour le calcul intégral et dérivé.
Récapitulez régulièrement les différents types de discontinuités.
En pratique, l'analyse des limites est primordiale pour établir la continuité.
Ne négligez pas les points critiques dans l'analyse de la continuité.

Définitions Essentielles

Fonction Continue : Une fonction est dite continue si, pour chaque point de son domaine, la limite à ce point coïncide avec la valeur de la fonction.
Limite d'une Fonction : C'est la valeur que prend une fonction lorsque les variables indépendantes s'approchent d'un certain point.
Discontinuité : Point d’un certain type où une fonction n'est pas continue, souvent à cause d’un saut ou d’une asymptote.
Fonction Rationnelle : Une fonction qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de polynômes.
Limite à Gauche/Droite : Limite d’une fonction quand on se rapproche d'un point par la gauche (ou la droite).