Exercices complexes sur la continuité des fonctions corrigés

Maîtrisez les exercices complexes corrigés sur la continuité des fonctions pour affiner votre compréhension et vos aptitudes analytiques au lycée.

Exercices complexes sur la continuité des fonctions

Énoncé : Étudions la continuité des fonctions suivantes en abordant des cas variés et en répondant aux questions qui suivent.

1. Déterminez si la fonction f définie par \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) est continue en \( x = 2 \).
2. Étudiez la continuité de la fonction \( g(t) = \sqrt{t-1} \) sur l'intervalle [1, 5].
3. Montrez que la fonction \( h(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x < 0 \\ 2 & \text{si } x = 0 \\ 3 & \text{si } x > 0 \end{cases} \) n'est pas continue en \( x = 0 \).
4. Soit \( k(x) = \sin(x) \) sur \( \mathbb{R} \). Prouvez que \( k(x) \) est continue sur l'ensemble des réels.
5. Trouvez les points de discontinuité de \( m(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \).
6. Étudiez la continuité de la fonction \( p(x) = e^{-x} \) sur \( \mathbb{R} \).
7. Discutez de la continuité de la fonction \( q(x) = \ln(x) \) sur l'intervalle \( (0, +\infty) \).

Une fonction \( f \) est continue en \( x = c \) si \( \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \).
Si \( f \) est continue en tous points d'un intervalle \( I \), alors elle est dite continue sur \( I \).
Les fonctions polynomiales sont continues sur \( \mathbb{R} \).
Les fonctions rationnelles sont continues sur leurs domaines de définition.
Les fonctions trigonométriques sont continues sur \( \mathbb{R} \).
Les racines carrées sont continues sur \( [0, +\infty) \).
Les logarithmes sont continues sur \( (0, +\infty) \).

Voici quelques conseils pour vous aider dans la résolution des exercices :

Question 1 : Pour \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \), factorisons : \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \quad (x \neq 2) \] La fonction n'est pas définie en \( 2 \), donc non continue.
Question 2 : Pour \( g(t) = \sqrt{t-1} \), vérifions \( g(1) = 0 \) et \( g(t) \) est continue sur [1, 5] car la racine carrée est continue sur cet intervalle.
Question 3 : \( h(x) \) a trois valeurs différentes à \( x = 0 \). Limite à gauche : 1, limite à droite : 3. Donc, non continue.
Question 4 : \( k(x) = \sin(x) \) est continue sur \( \mathbb{R} \) car les fonctions trigonométriques le sont.
Question 5 : \( m(x) \) est discontinuité aux points \( x = \pm 1 \) car \( m(x) \) est indéfini.
Question 6 : \( p(x) = e^{-x} \) est continue sur \( \mathbb{R} \). Les exponentielles sont continues partout.
Question 7 : \( q(x) = \ln(x) \) est continue sur \( (0, +\infty) \), car le logarithme est continu sur cet intervalle.

**Continuité** : Une fonction est continue en un point si elle ne présente pas de sauts ou de trous.
**Point de discontinuité** : Un point où la fonction n’est pas continue.
**Limite** : Valeur vers laquelle une fonction se rapproche à mesure que l’on se rapproche d’un point donné.