Exercices révisés Continuité des fonctions niveaux avancés

Révisez avec nos exercices corrigés de niveaux avancés sur la continuité des fonctions pour exceller en mathématiques au lycée et collège.

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Exercice sur la continuité des fonctions - Niveau avancé

Dans cet exercice, nous allons explorer la continuité des fonctions à travers plusieurs questions. Cet exercice est conçu pour tester votre compréhension des concepts de continuité, des limites et du théorème des valeurs intermédiaires.

Question 1 : Définir la continuité d'une fonction en un point.
Question 2 : Soit \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). Déterminez si cette fonction est continue en \( x = 1 \).
Question 3 : Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu'il existe au moins un point \( c \) dans l'intervalle [0, 2] tel que \( f(c) = 1 \) pour la fonction \( f(x) = x^3 - 2x \).
Question 4 : Montrez graphiquement la continuité de la fonction \( f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ 2-x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \) en utilisant Chart.js.

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Règles de continuité des fonctions

Une fonction \( f(x) \) est continue en un point \( a \) si :
- 1) \( f(a) \) est définie.
- 2) La limite \( \lim_{x \to a} f(x) \) existe.
- 3) \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).
Théorème des valeurs intermédiaires : Si \( f \) est continue sur l'intervalle \([a, b]\) et \( N \) est un nombre entre \( f(a) \) et \( f(b) \), alors il existe un \( c \) tel que \( f(c) = N \).

Indications pour résoudre l'exercice

Pour la question 1, utilisez la définition formelle de la continuité. Pour la question 2, calculez la limite et vérifiez si elle égale la valeur de la fonction en ce point. Pour la question 3, identifiez les valeurs de \( f(0) \) et \( f(2) \) pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. La question 4 nécessite un tracé graphique.

Corrigé détaillé des questions

Question 1 : La continuité d'une fonction \( f \) en un point \( a \) signifie que \( f(a) \) est définie, la limite lorsque \( x \) approche \( a \) existe, et que cette limite est égale à \( f(a) \).

Question 2 : Pour la fonction \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \), notons que pour \( x \neq 1 \), \( f(x) = x + 1 \). Ainsi, \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \quad \text{et} \quad f(1) \text{ n'est pas défini.} \] Donc, \( f \) n'est pas continue en \( x = 1 \).

Question 3 : Calculons : \[ f(0) = 0^3 - 2(0) = 0 \quad \text{et} \quad f(2) = 2^3 - 2(2) = 8 - 4 = 4. \] Comme \( f \) est continue sur \([0, 2]\) et que \( 0 < 1 < 4 \), il existe un \( c \in [0, 2] \) tel que \( f(c) = 1 \).

Question 4 : La fonction \( f(x) \) est continue car les deux morceaux se rejoignent en \( x = 1 \). Pour montrer cela graphiquement, on utilise Chart.js pour tracer la fonction.

Points clés à retenir sur la continuité

La continuité implique la définition de la fonction à un point donné.
La limite doit exister des deux côtés du point de continuité.
La valeur de la fonction doit correspondre à la limite.
Le théorème des valeurs intermédiaires est essentiel pour démontrer l'existence de solutions.
Les fonctions polynômes sont continues partout.
Les fonctions rationnelles sont continues sauf aux points où le dénominateur est nul.
La continuité est préservée par la somme, le produit et le quotient (sauf division par zéro).
Les fonctions composées de fonctions continues sont continues.
Il existe des points de discontinuité évitables et non évitables.
Des graphes peuvent aider à visualiser la continuité.

Définitions sur la continuité des fonctions

Continuité : Propriété d'une fonction d'être continue en un point ou sur un intervalle.
Limite : Valeur qu'une fonction approche lorsque son argument approche un point donné.
Théorème des valeurs intermédiaires : S'il existe des valeurs locales dans un intervalle, alors toutes les valeurs entre ces deux valeurs sont atteintes par la fonction.
Discontinuité : Point où une fonction n'est pas continue.