Exercices sur la continuité des fonctions maîtrise totale

Assurez-vous une maîtrise totale des concepts de continuité des fonctions avec nos exercices corrigés conçus pour le niveau lycée et collège.

Exercices sur la continuité des fonctions

Vivons intensément la continuité des fonctions à travers ces exercices. Calculez les valeurs limites, comprenez leur signification et déterminez si les fonctions données sont continues.

1. Déterminez si la fonction \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) est continue à \( x = 1 \).
2. Établissez la limite de la fonction \( g(x) = \sqrt{x} - 1 \) quand \( x \) tend vers 0.
3. Vérifiez la continuité de la fonction \( h(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) autour de \( x = 0 \).
4. Trouvez les points de discontinuité de la fonction \( k(x) = \frac{1}{x - 2} \) et déterminez leur nature.

Règles sur la continuité des fonctions

Une fonction \( f \) est continue à un point \( a \) si :
1. \( f(a) \) est défini.

2. \( \lim_{x \to a} f(x) \) existe.

3. \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).
Types de discontinuités :
- Discontinuité de saut.

- Discontinuité infinie.

- Discontinuité essentielle.

graph TD; A[Définition de continuité] --> B{Fonction définie?}; B -->|Oui| C{Limite existe?}; C -->|Oui| D{Limite égale à la fonction?}; D -->|Oui| E[Continuité à a]; D -->|Non| F[Non continue à a]; B -->|Non| F; C -->|Non| F;

Indications pour résoudre les exercices

Pour déterminer la continuité, commencez par évaluer la fonction au point d'intérêt.
Calculez les limites à gauche et à droite pour vérifier l'existence de la limite.
Si la limite n'existe pas ou n'est pas égale à la valeur de la fonction, la fonction est discontinue.
Représentez graphiquement les fonctions pour visualiser les points de discontinuité.

graph TD; A[Évaluer la fonction] --> B[Calculer limite gauche]; A --> C[Calculer limite droite]; B --> D{Limite existe?}; C --> D; D -->|Oui| E{Égalité avec f(a)?}; E -->|Oui| F[Continue]; E -->|Non| G[Non continue]; D -->|Non| G;

Solutions détaillées aux exercices

Question 1

Pour \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \):

1. La fonction est indéfinie en \( x = 1 \). Il faut déterminer si la limite existe.

On factorise : \( f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \) pour \( x \neq 1 \).

Calculons la limite :

\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2. \]

Donc, \( f(1) \) n'est pas défini mais la limite existe et est égale à 2. Donc, \( f(x) \) n'est pas continue à \( x = 1 \).

Question 2

Pour \( g(x) = \sqrt{x} - 1 \):

Calculons la limite :

\[ \lim_{x \to 0} g(x) = \sqrt{0} - 1 = -1. \]

Question 3

Pour \( h(x) = \frac{\sin(x)}{x} \):

Utilisons la limite connue :

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \] Donc, la fonction est continue à \( x = 0 \).

Question 4

Pour \( k(x) = \frac{1}{x - 2} \):

La fonction n'est pas définie à \( x = 2 \). La limite en \( x = 2 \):

\[ \lim_{x \to 2} k(x) = \pm \infty. \]

Par conséquent, \( x = 2 \) est une discontinuité infinie.

Points clés à retenir

Continuité = valeur de fonction définie et limite égale.
Identifier les types de discontinuité.
Les limites à gauche et à droite sont fondamentales.
Utiliser des graphiques pour illustrer les concepts.
Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine.
La composition de fonctions continues est continue.
Les fonctions polynomiales sont continues partout.
Les fonctions trigonometriques ont des limites bien connues.
L’examen des comportements asymptotiques est cruciale.
Les propriétés des limites sont des outils puissants pour la continuité.

Définitions importantes

Fonction continue : Fonction sans interruptions ni sauts.
Limite : Valeur que la fonction tend à atteindre.
Discontinuité : Point où la fonction n'est pas continue.
Discontinuité de saut : Saut brusque dans la valeur de la fonction.
Discontinuité infinie : La fonction tend vers l'infini à un certain point.
Limite à gauche/droite : Valeur de la fonction quand une variable approche un point par la gauche/droite.
Fonction rationnelle : Une fonction exprimée comme le rapport de deux polynômes.
Continuité par morceaux : Fonction qui est continue sur des intervalles disjoints.
Théorème des valeurs intermédiaires : Entre deux valeurs, la fonction atteint toutes les valeurs intermédiaires.
Théorème de Bolzano : Si une fonction est continue sur [a, b], alors elle prend toutes les valeurs entre \( f(a) \) et \( f(b) \).

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