Analyse approfondie avec exercices corrigés continuité
Accédez à une analyse approfondie avec nos exercices corrigés en continuité des fonctions, idéals pour les élèves de lycée cherchant à exceller.
Analyse de la continuité des fonctions
Voici un exercice portant sur la continuité des fonctions à une variable. On considère la fonction définie par : $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ 2 & \text{si } x = 1 \\ 3 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Questions :
- Déterminez si la fonction \(f\) est continue en \(x = 1\).
- Calculez les limites de \(f\) à gauche et à droite de \(x = 1\).
- Tracez le graphique de la fonction \(f\).
- En considérant la définition de la continuité, manifestez-vous sur la continuité de \(f\) en tous les points de son domaine.
- Proposez une fonction continue \(g\) qui coïncide avec \(f\) pour \(x < 1\) et \(x > 1\) mais qui est différente à \(x = 1\).
- Justifiez votre réponse à la question précédente en précisant les critères de continuité.
Règles et Méthodes pour Analyser la Continuité
- Une fonction est continue en \(a\) si :
- La fonction est définie en \(a\).
- La limite de la fonction lorsque \(x\) s'approche de \(a\) existe.
- La limite de la fonction lorsque \(x\) s'approche de \(a\) est égale à \(f(a)\).
- Pour vérifier la continuité, calculez \( \lim_{x \to a^-} f(x) \) et \( \lim_{x \to a^+} f(x) \).
- Utilisez des graphiques pour visualiser les comportements des fonctions aux points d'intérêt.
graph TD;
A[Défini en a] --> B{Limite existe ?}
B -- Oui --> C[Limite = f(a)?]
B -- Non --> D[Non continu]
C -- Oui --> E[Continu]
C -- Non --> D[Non continu]
Indications pour Résoudre les Questions
- Ajouter les valeurs limites des côtés gauche et droit.
- Utilisez des calculs simples pour évaluer \(f(1)\) et les limites.
- Déterminez la continuité en vérifiant les trois conditions citées.
- Pensez à des graphiques pour illustrer le comportement local.
Solutions Détaillées aux Questions
- Pour \(f\) d’être continue en \(x=1\), il faut que la limite soit égale à \(f(1)\). On doit donc vérifier cela.
- Calculons les limites :
À gauche : \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 = 1\).
À droite : \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 - 1 = 2\).
- Graphique de \(f\) :
- En \(x = 1\), \(f\) n'est pas continue car \(\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq f(1)\).
- Une proposition de fonction continue \(g(x) = f(x)\) pour \(x < 1\) et \(g(x) = 2\) pour \(x = 1\) et \(g(x) = 3 - x\) pour \(x > 1\).
- La fonction \(g\) est continue car les limites à gauche et à droite à \(x = 1\) coïncident avec la valeur \(g(1)\).
Points Clés à Retenir sur la Continuité
- La continuité se vérifie par trois conditions.
- Les limites peuvent être calculées analytiquement.
- Un graphe aide à visualiser les discontinuités.
- Les fonctions par morceaux nécessitent un soin particulier.
- Les points de continuité sont souvent en lien avec les valeurs limites.
- Une fonction constante est toujours continue.
- Les discontinuités peuvent être évitables ou non.
- Il existe des théorèmes qui garantissent la continuité de certaines combinaisons de fonctions.
- Identifier les types de discontinuité aide l'analyse.
- La continuité est essentielle pour les calculs de dérivées.
Définitions et Termes Utilisés
- Continuité : Propriété d'une fonction de ne pas avoir de "sauts".
- Limite : Valeur que prend la fonction lorsque l'on approche un point donné.
- Fonction définie par morceaux : Fonction qui a différentes expressions selon les intervalles.
- Saut de discontinuité : Point où une fonction "saute" d'une valeur à une autre.
- Fonction constante : Fonction qui prend la même valeur partout dans son domaine.
- Limite à gauche : Limite d'une fonction lorsque l'on s'approche d'un point par la gauche.
- Limite à droite : Limite d'une fonction lorsque l'on s'approche d'un point par la droite.
- Valeur d'une fonction : Le résultat de la fonction pour une certaine valeur de \(x\).
- Définition formelle de la continuité : Une fonction est continue en un point si les trois conditions essentielles sont satisfaites.
- Changement de fonction : Modifier une fonction pour qu'elle devienne continue sans altérer sa forme ailleurs.
Continus et limites Exercices corrigés adaptés au lycée