Continus et limites Exercices corrigés adaptés au lycée
Préparez-vous avec nos exercices corrigés sur les continus et les limites, adaptés aux besoins des étudiants de lycée en mathématiques.
Analyse de la continuité des fonctions et limites
Dans cet exercice, nous allons explorer les concepts de continuité et de limites à travers sept questions détaillées. Testez votre compréhension des fonctions continues, des limites et des théorèmes associés.- Question 1 : Déterminez si la fonction \(f(x) = x^2 - 4\) est continue en \(x = 2\).
- Question 2 : Trouvez la limite de \(g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) quand \(x\) tend vers \(1\).
- Question 3 : Utilisez le théorème de Bolzano pour montrer qu'il existe au moins une solution à l'équation \(h(x) = x^3 - x\) entre \(x = -1\) et \(x = 1\).
- Question 4 : Étudiez la continuité de la fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) en \(x = 0\).
- Question 5 : Calculez la limite de \(k(x) = \frac{\sin x}{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(0\).
- Question 6 : Montrez que la fonction \(m(x) = \ln(x)\) est continue sur son domaine.
- Question 7 : Explorez les limites à l’infini de la fonction \(n(x) = \frac{2x^3 - 5x + 6}{4x^3 + 7}\).
Règles et méthodes sur la continuité et les limites
- Une fonction \(f\) est continue en \(x = a\) si :
\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)
- Pour calculer une limite, simplifiez l’expression, puis substituez la valeur.
- Le théorème de Bolzano garantit l’existence d'une racine si la fonction change de signe sur un intervalle.
- La continuité sur un intervalle \(I\) signifie que la fonction est continue à chacun des points de \(I\).
- Les limites à l'infini peuvent être déterminées en considérant les termes dominants.
Indications pour résoudre les exercices
- Utilisez les définitions de continuité et de limite appropriées.
- Pour les limites indéterminées, appliquez la règle de l'Hôpital si possible.
- Essayez de factoriser ou d'utiliser un polynôme équivalent lorsque cela est possible.
- Examinez les comportements à gauche et à droite d'un point pour les limites appropriées.
Solutions détaillées des questions
Question 1 :
Pour \(f(x) = x^2 - 4\) en \(x = 2\): \(\lim_{x \to 2} f(x) = 0\) et \(f(2) = 0\). Donc \(f\) est continue en \(x = 2\).
Question 2 :
Nous avons \(g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1\) (pour \(x \neq 1\)). Donc \(\lim_{x \to 1} g(x) = 2\).
Question 3 :
Calculons \(h(-1) = 0\) et \(h(1) = 0\). Comme \(h(x)\) change de signe, il existe au moins une solution dans \([-1, 1]\) par Bolzano.
Question 4 :
\(f(x) = \sqrt{x}\) est continue en \(x=0\) car \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\) et \(f(0) = 0\).
Question 5 :
\(\lim_{x \to 0} k(x) = 1\) (utilisez le fait que \(\frac{\sin x}{x} \to 1\) quand \(x\) approche \(0\)).
Question 6 :
La fonction \(\ln(x)\) est continue sur son domaine \(]0, \infty[\) car elle est définie et a une limite pour chaque point dans ce domaine.
Question 7 :
Pour \(n(x) = \frac{2x^3 - 5x + 6}{4x^3 + 7}\), la limite à l’infini est \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Points clés à retenir
- La continuité implique que la fonction doit être définie à un point.
- Les limites peuvent avoir des valeurs déterminées ou indéterminées.
- Le théorème de Bolzano est essentiel pour les racines des polynômes.
- Les limites à l'infini nécessitent un examen des coefficients dominants.
- Les fonctions polynomiales sont continues partout.
- Les fonctions rationnelles sont continues là où elles sont définies.
- Les racines carrées ne sont continues que sur les réels non négatifs.
- La fonction logarithmique est continue sur les réels positifs.
- La continuité peut être vérifiée par des limites à gauche et à droite.
- En pratique, le calcul de limites nécessite souvent des simplifications.
Définitions et descriptions des termes utilisés
- Continuité : Une fonction est dite continue en un point si la limite de la fonction au point est égale à la valeur de la fonction en ce point.
- Limite : La valeur qu'une fonction approche lorsqu'un argument se rapproche d'une certaine valeur.
- Théorème de Bolzano : Si une fonction continue prend des valeurs de signes opposés à deux points, alors elle a au moins un zéro dans l'intervalle.
- Limite à l'infini : Le comportement d'une fonction quand l'argument tend vers une grande valeur positive ou négative.
- Fonction rationnelle : Un rapport de deux polynômes.
