Exercices corrigés sur les définitions de la dérivation
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Exercices corrigés sur les définitions de la dérivation
Dans cet exercice, nous allons explorer les définitions de la dérivation à travers plusieurs questions. Nous allons examiner des fonctions, leur dérivée et des applications pratiques de la dérivation.Règles et définitions importantes concernant la dérivation
- Dérivée d'une fonction : La dérivée de $f(x)$ est notée $f'(x)$ et représente le taux de variation de la fonction.
- Règle de la somme : Si $f(x)$ et $g(x)$ sont dérivables, alors $(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$.
- Règle du produit : $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.
- Règle du quotient : $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$.
Indications pour résoudre les exercices
- Identifiez la fonction que vous devez dériver.
- Appliquez les règles de dérivation en fonction de la structure de la fonction.
- Vérifiez la continuité et la différentiabilité de la fonction dans l'intervalle donné.
graph TD;
A[Identifiez la fonction] --> B[Appliquez les règles];
B --> C[Déterminer la dérivée];
C --> D[Vérifiez la continuité];
Solutions détaillées des exercices
Question 1 :
Trouvez la dérivée de la fonction $f(x) = 3x^2 + 5x - 4$.Pour dériver, appliquons la règle de la puissance :
$$f'(x) = 6x + 5$$
Question 2 :
Que représente $f'(a)$ ?La valeur $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe de $f(x)$ au point $(a, f(a))$.
Question 3 :
Calculez la dérivée de $g(x) = x^3 - 2x + 1$.Utilisons la règle de la puissance :
$$g'(x) = 3x^2 - 2$$
Question 4 :
Appliquez la règle du produit à $h(x) = (2x)(\sin(x))$.Utilisons la règle du produit :
$$h'(x) = 2x \cos(x) + 2 \sin(x)$$
Question 5 :
Quelle est la dérivée de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ ?Appliquons la règle du quotient :
$$f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$$
Question 6 :
Trouvez les points critiques de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.Pour trouver les points critiques, nous résolvons $f'(x) = 0$ :
$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0$$
Les points critiques sont $x=0$ et $x=2$.
Points clés à retenir sur la dérivation
- La dérivée d'une constante est zéro.
- La dérivée indique le taux de changement de la fonction.
- Les points critiques aident à trouver les extrema.
- La continuité n'implique pas nécessairement la dérivabilité.
- Chaque type de fonction a ses propres règles de dérivation.
- La dérivée seconde fournit des informations sur la concavité.
- La représentation graphique aide à comprendre le comportement des dérivées.
- La dérivation est essentielle pour optimiser des problèmes.
- Les règles de dérivation doivent être bien retenues.
- Les calculs doivent être vérifiés pour éviter les erreurs.
Définitions des termes clés utilisés
- Dérivée : La dérivée d'une fonction mesure le changement de cette fonction par rapport à ses variables.
- Fonction dans un intervalle : Un ensemble de valeurs sur lesquelles une fonction est définie et continue.
- Point critique : Un point $c$ tel que $f'(c) = 0$ ou $f'$ n'est pas défini, suggérant un maximum, minimum ou une inflexion.