Propriétés de la dérivation Exercices illustrés corrigés
Maîtrisez les propriétés de la dérivation grâce à ces exercices illustrés corrigés. Idéal pour les élèves du collège et lycée en mathématiques.
Propriétés de la dérivation : Exercices illustrés corrigés
Dans cet exercice, nous allons explorer les propriétés de la dérivation à travers des questions qui permettront de mieux comprendre ce concept fondamental en analyse. Les questions suivantes devront être résolues étape par étape.
- Question 1 : Déterminez la dérivée de la fonction \( f(x) = 3x^2 + 5x - 7 \).
- Question 2 : Calculez \( f'(2) \) pour la fonction précédente.
- Question 3 : Trouvez l'équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point où \( x = 2 \).
- Question 4 : Déterminez les points critiques de la fonction \( f(x) \).
- Question 5 : Analysez la concavité de \( f(x) \) en utilisant la dérivée seconde.
- Question 6 : Pour la fonction \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \), trouvez \( g'(x) \).
- Question 7 : Analysez le comportement asymptotique de la fonction \( h(x) = \frac{1}{x} \) pour \( x \to 0 \).
Règles et formules des dérivées
- Règle de la somme : \( (u + v)' = u' + v' \)
- Règle du produit : \( (uv)' = u'v + uv' \)
- Règle du quotient : \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Règle de la chaîne : \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
- Dérivée de \( x^n \) : \( (x^n)' = nx^{n-1} \)
- Dérivée de \( e^x \) : \( (e^x)' = e^x \)
- Dérivée de \( \ln(x) \) : \( (\ln(x))' = \frac{1}{x} \)
Indications pour la résolution
- Identifiez clairement la fonction avant de dériver.
- Utilisez les règles de dérivation appropriées pour chaque question.
- Pour les tangentes, rappelez-vous d'utiliser la formule \( y - f(a) = f'(a)(x - a) \).
- Pour les points critiques, trouvez où \( f'(x) = 0 \) ou \( f'(x) \) est indéfini.
- La dérivée seconde vous dira si la fonction est concave vers le haut ou vers le bas.
- Pour analyser \( h(x) = \frac{1}{x} \), pensez aux limites à mesure que \( x \) se rapproche de zéro.
- Pratiquez des exercices supplémentaires pour renforcer votre compréhension des concepts.
Solutions détaillées des questions
Question 1 :
Pour dériver la fonction \( f(x) = 3x^2 + 5x - 7 \):
La dérivée de chaque terme est:
- \( (3x^2)' = 6x \)
- \( (5x)' = 5 \)
- \( (-7)' = 0 \)
Ainsi, \( f'(x) = 6x + 5 \).
Question 2 :
Pour \( f'(2) \):
\( f'(2) = 6(2) + 5 = 12 + 5 = 17 \).
Question 3 :
Pour trouver l'équation de la tangente au point \( x = 2 \):
Nous savons que la tangente est donnée par \( y - f(2) = f'(2)(x - 2) \).
D'abord, trouvons \( f(2) \):
- \( f(2) = 3(2^2) + 5(2) - 7 = 12 + 10 - 7 = 15 \)
L'équation devient donc \( y - 15 = 17(x - 2) \Rightarrow y = 17x - 19 \).
Question 4 :
Pour les points critiques, trouvons \( f'(x) = 0 \):
En résolvant \( 6x + 5 = 0 \):
- \( 6x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{6} \).
Question 5 :
Pour la concavité, calculons la dérivée seconde:
\( f''(x) = 6 \). Comme cela est positif, \( f(x) \) est concave vers le haut.
Question 6 :
Pour \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \):
Utilisons les dérivées de \( \sin \) et \( \cos \):
- \( g'(x) = \cos(x) - \sin(x) \).
Question 7 :
Analyse du comportement asymptotique pour \( h(x) = \frac{1}{x} \):
À mesure que \( x \to 0^+ \), \( h(x) \to +\infty \) et à mesure que \( x \to 0^- \), \( h(x) \to -\infty \).
Points clés à retenir
- La dérivée mesure la variation d'une fonction.
- La dérivée d'une constante est nulle.
- Comprendre les règles de dérivation est essentiel.
- Les points critiques indiquent des maxima/minima locaux.
- La concavité est déterminée par la dérivée seconde.
- La tangente à une courbe peut être trouvée à l'aide de la dérivée.
- Les limites sont cruciales pour analyser le comportement des fonctions.
- La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
- Implication de la dérivée nulle sur le comportement de la fonction.
- Pratique régulière pour renforcer les compétences en dérivation.
Définitions essentielles
- Dérivée : Mesure de la variation d'une fonction par rapport à une variable.
- Point critique : Point où la dérivée d'une fonction est nulle ou indéfinie.
- Concavité : Caractéristique d'une fonction indiquant si elle est courbée vers le haut ou vers le bas.
- Tangente : Droite qui touche une courbe en un point sans la couper.
- Règle de la chaîne : Méthode pour dériver des fonctions composées.
- Limite : Valeur à laquelle une fonction se rapproche lorsque son argument se rapproche d'un certain point.
