Dérivation Exercices pratiques intermédiaires corrigés
Améliorez vos compétences avec des exercices pratiques de dérivation de niveau intermédiaire, tous corrigés pour faciliter votre apprentissage.
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Exercices Pratiques sur la Dérivation
Dans cet exercice, nous allons explorer 5 questions liées à la dérivation de fonctions polynomiales et trigonométriques. Chacune étape sera expliquée en détail.Règles et Formules de Dérivation
- La dérivée de \(x^n\) est \(nx^{n-1}\).
- La dérivée de \(\sin(x)\) est \(\cos(x)\).
- La dérivée de \(\cos(x)\) est \(-\sin(x)\).
- La dérivée du produit de deux fonctions \(u\) et \(v\) est \(u'v + uv'\).
- La dérivée du quotient \(u/v\) est \((u'v - uv')/v^2\).
Indications et Méthodes
- Identifiez les fonctions à dériver.
- Appliquez les règles de dérivation appropriées.
- Simplifiez les résultats lorsque cela est possible.
- Vérifiez les limites et les points critiques.
- Utilisez les graphiques pour visualiser la dérivée.
Solutions Détailées des Questions
Question 1
Calculez la dérivée de \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 4\).La dérivée est: \[ f'(x) = 6x^2 + 6x - 5 \]
Question 2
Calculez la dérivée de \(g(x) = \sin(x) + \cos(x)\).La dérivée est: \[ g'(x) = \cos(x) - \sin(x) \]
Question 3
Calculez la dérivée de \(h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 7\).La dérivée est: \[ h'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x \]
Question 4
Calculez la dérivée de \(k(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\).Utilisant la règle du quotient: \[ k'(x) = \frac{(2x)(x-1) - (x^2 + 1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} \]
Question 5
Calculez la dérivée de \(m(x) = x^2 \sin(x)\).Utilisant la règle du produit: \[ m'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \]
Points Clés à Retenir
- Comprendre les règles de base de dérivation.
- La dérivation est une compétence fondamentale en analyse.
- Ne négligez pas les propriétés des fonctions trigonométriques.
- La simplification peut rendre vos réponses plus claires.
- Pratiquez avec des fonctions variées pour vous améliorer.
Définitions Importantes
- Dérivée: La dérivée d'une fonction mesure comment la fonction change à un certain point.
- Règle du produit: Pour deux fonctions \(u\) et \(v\), \( (uv)' = u'v + uv'\).
- Règle du quotient: Pour deux fonctions \(u\) et \(v\), \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
- Fonction polynomiale: Une fonction de la forme \( a_nx^n + ... + a_1x + a_0\).
- Fonction trigonométrique: Fonctions telles que \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), et \(\tan(x)\).