Dérivation avancée Exercices corrigés pour les experts
Testez vos connaissances avec des exercices avancés sur la dérivation. Corrigés pour un apprentissage en profondeur, idéal pour les étudiants ambitieux.
Exercices de Dérivation Avancée : Testez Vos Connaissances
Énoncez un exercice complet sur la dérivation. Répondez aux questions suivantes :- Quelle est la définition de la dérivée d'une fonction ?
- Calculez la dérivée de la fonction \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 6\).
- Quelles sont les propriétés de la dérivée ? Fournissez des exemples.
- Déterminez les points critiques de la fonction \(f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 6\).
- Calculez la dérivée de \(g(x) = \sin(x) \cdot e^x\) en utilisant la règle du produit.
- À quelle condition une fonction est-elle croissante ou décroissante en un intervalle donné ?
- Utilisez le théorème de Fermat pour trouver les extrema locaux de \(h(x) = x^2 - 4x + 6\).
- Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = \ln(x)\) au point \(x = 1\) ?
Règles et Propriétés de la Dérivation
- La dérivée d'une somme : \( (f + g)' = f' + g' \)
- La dérivée d'un produit : \( (fg)' = f'g + fg' \)
- La dérivée d'un quotient : \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \)
- La dérivée d'une fonction composée : \( (f \circ g)' = f'(g(x))g'(x) \)
Indications pour Résoudre les Exercices
- Relisez les définitions et les règles de dérivation avant de commencer.
- Identifier clairement chaque fonction et son domaine.
- Utilisez des graphiques lorsque cela est possible pour visualiser les fonctions.
- Pour les extrema, n'oubliez pas de vérifier les bords de l'intervalle.
Corrections Détailleés des Exercices
1. Définition de la dérivée
La dérivée d'une fonction \(f\) au point \(x\) est définie comme :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
2. Dérivée de \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 6\)
Utilisez la règle de puissance :
\[ f'(x) = 3x^2 - 10x \]
3. Propriétés de la dérivée
Les propriétés incluent le produit, la somme, et la composition. Par exemple :
\[ (x^3)' = 3x^2, \quad \sin(x)' = \cos(x) \]
4. Points critiques de \(f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 6\)
Calculez \(f'(x)\) et résolvez \(f'(x) = 0\) :
\[ f'(x) = 8x^3 - 24x^2 = 8x^2(x - 3) \implies x = 0 \; \text{ou} \; x = 3 \]
5. Dérivée de \(g(x) = \sin(x) e^x\)
Appliquez la règle du produit :
\[ g'(x) = \cos(x)e^x + \sin(x)e^x = e^x(\sin(x) + \cos(x)) \]
6. Conditions de croissance/décroissance
Une fonction est croissante lorsque \(f'(x) \geq 0\) et décroissante lorsque \(f'(x) \leq 0\).
7. Théorème de Fermat pour \(h(x)\)
Calculez \(h'(x) = 2x - 4\) et résolvez :
\[ h'(x) = 0 \implies x = 2 \]
8. Équation de la tangente à \(f(x) = \ln(x)\) au point \(x = 1\)
Calculez \(f'(x) = \frac{1}{x}\) qui donne \(f'(1) = 1\). La tangente est :
\[ y - \ln(1) = 1 \cdot (x - 1) \implies y = x - 1 \]
Points Clés à Retenir sur la Dérivation
- Les règles de base sont essentielles pour la dérivation.
- Les points critiques aident à identifier les extrema.
- Visualiser les fonctions peut grandement aider à la compréhension.
- Les dérivées secondes peuvent aider à déterminer la concavité.
- Utilisez des tests de première et de seconde dérivée pour les extrema.
- La continuité d'une fonction est nécessaire pour l'application de la dérivée.
- Le calcul des tangentes nécessite la connaissance de la dérivée.
- Des outils comme les graphiques et tableaux peuvent faciliter l'analyse.
- Les polynômes sont souvent plus simples à dériver que d'autres types de fonctions.
- Tester des valeurs aux frontières peut révéler des informations importantes.
Définitions et Termes Utilisés
- Dérivée : Mesure du taux de variation d'une fonction par rapport à ses variables.
- Point critique : Point où la dérivée d'une fonction est nulle ou indéfinie.
- Extrema : Les valeurs maximales ou minimales d'une fonction.
- Règle du produit : Méthode pour dériver le produit de deux fonctions.
- Règle de chaîne : Méthode pour dériver une fonction composée.
- Concordance : Relation entre la croissance d'une fonction et le signe de sa dérivée.
- Courbe tangente : Ligne qui touche une courbe en un point, représentant le taux de changement à cet endroit.
- Concavité : Mesure de la courbure d'une fonction, indiquant comment le graphique se plie.
- Théorème de Fermat : Énonce que si \(f\) atteint un extremum local, alors \(f'\) est zéro ou indéfini au point.
- Équation de tangente : Formule qui décrit la ligne tangentielle à une fonction à un point donné.