Dérivation et application Exercices corrigés détaillés
Explorez les applications de la dérivation avec ces exercices corrigés détaillés, vous guidant dans les concepts avancés des mathématiques.
Exercice de dérivation et ses applications
Voici un exercice axé sur la dérivation et ses applications. Résoudre les questions suivantes concernant la fonction \( f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7 \).- 1. Calculer la dérivée de la fonction \( f(x) \).
- 2. Déterminer les points critiques de la fonction.
- 3. Analyser le signe de la dérivée pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.
- 4. Identifier les points d'inflexion de la fonction.
- 5. tracer le graphe de la fonction \( f(x) \) et sa dérivée \( f'(x) \).
- 6. Trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) a des extrema locaux.
Règles de la dérivation
- Règle de puissance: \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
- Règle du produit: \( (uv)' = u'v + uv' \)
- Règle du quotient: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Règle de la chaîne: \( \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \)
Indications pour résoudre l'exercice
- Utiliser les règles de dérivation pour calculer \( f'(x) \).
- Les points critiques sont trouvés lorsque \( f'(x) = 0 \) ou non définis.
- Analyser le signe de \( f'(x) \) pour déterminer les périodes de croissance et de décroissance.
- Pour les points d'inflexion, calculer la dérivée seconde \( f''(x) \) et résoudre \( f''(x) = 0 \).
Solutions détaillées des questions
1. Calculons la dérivée \( f'(x) \): \( f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 5x^2 + 2x - 7) = 9x^2 - 10x + 2 \).
2. Pour déterminer les points critiques, trouvons les solutions de \( 9x^2 - 10x + 2 = 0 \) en utilisant la formule quadratique: \\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2}}{2 \cdot 9} \\] Ce qui nous donne des valeurs de \( x \) pour les points critiques.
3. Analysons le signe de \( f'(x) \) autour des points critiques pour identifier les intervalles de croissance et de décroissance.
4. Pour les points d'inflexion, calculons \( f''(x) \) et résolvons l'équation \( f''(x) = 0 \).
5. Voici un exemple de graphes que nous pourrions obtenir. (Le graphique réel doit être dessiné à l'aide de Chart.js).
Points clés à retenir sur la dérivation
- Comprendre l'importance des points critiques.
- Analyser le signe de la dérivée pour le comportement de la fonction.
- Être capable d'identifier les extrema locaux.
- Distinguer entre les points d'inflexion et les extrema.
- Utiliser les graphiques pour visualiser la fonction et ses dérivées.
- Les règles de dérivation sont fondamentales dans l'analyse des fonctions.
- Pratiquer la résolution d'équations quadratiques.
- Utiliser des outils comme des logiciels graphiques pour une meilleure compréhension.
- Entraîner à appliquer la dérivation à des problèmes concrets.
- Revoir régulièrement les concepts pour bien les maîtriser.
Définitions importantes liées à la dérivation
- Fonction dérivable: Une fonction est dite dérivable en un point si la limite de son taux de variation existe.
- Point critique: Un point où la dérivée s'annule ou est indéfinie.
- Extremum local: Un point où une fonction atteint un minimum ou un maximum par rapport à ses voisins.
- Point d'inflexion: Un point où la concavité de la fonction change.
- Règle de la chaîne: Utilisée pour dériver des fonctions composées.