Exercices d'application des théorèmes de dérivation
Approfondissez vos connaissances avec des exercices d'application des théorèmes de dérivation, tous corrigés pour un apprentissage complet.
Exercice d'application des théorèmes de dérivation
Dans cet exercice, nous allons appliquer les théorèmes de dérivation pour analyser des fonctions. Voici les questions posées :- 1. Trouvez la dérivée de la fonction \( f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2 \).
- 2. Déterminez les points critiques de la fonction définie à la question 1.
- 3. Analysez le signe de la dérivée pour déterminer la croissance et la décroissance de \( f(x) \).
- 4. Étudiez la concavité de la fonction en trouvant la seconde dérivée.
Règles et méthodes de dérivation
- Règle de puissance : \( \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} \)
- Règle du produit : \( (uv)' = u'v + uv' \)
- Règle du quotient : \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Règle de la chaîne : \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Indications pour résoudre les exercices
- Utilisez les règles de dérivation appropriées pour chaque terme de la fonction.
- Pour les points critiques, résolvez \( f'(x) = 0 \).
- Pour déterminer la croissance/décroissance, examinez le signe de \( f'(x) \).
- Pour étudier la concavité, calculez \( f''(x) \) et examinez les signes.
Solutions détaillées des questions
1. La fonction est \( f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2 \). Pour trouver la dérivée, nous appliquons la règle de puissance : \[ f'(x) = 9x^2 - 10x. \]
2. Pour déterminer les points critiques, nous résolvons \( f'(x) = 0 \): \[ 9x^2 - 10x = 0 \\ x(9x - 10) = 0. \] Ainsi, \( x = 0 \) et \( x = \frac{10}{9} \) sont les points critiques.
3. Nous analysons le signe de \( f'(x) \) : \[ f'(x) = 9x^2 - 10x. \] Pour les intervalles \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{10}{9}) \), \( (\frac{10}{9}, +\infty) \), nous avons : - \( f'(x) > 0 \) dans \( (0, \frac{10}{9}) \) (croissante), - \( f'(x) < 0 \) dans \( (-\infty, 0) \) et \( (\frac{10}{9}, +\infty) \) (décroissante).
4. Calculons la seconde dérivée : \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x)) = 18x - 10. \] Pour analyser la concavité, on résout \( f''(x) = 0 \): \[ 18x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{9}. \] En étudiant le signe de \( f''(x) \), nous déterminons : - Concave vers le haut pour \( x < \frac{5}{9} \), - Concave vers le bas pour \( x > \frac{5}{9} \).
Points clés à retenir
- Comprendre la dérivation est essentiel pour analyser les fonctions.
- Les points critiques aident à identifier les maximums et minimums locaux.
- La dérivée positive indique une fonction croissante.
- La dérivée négative indique une fonction décroissante.
- La concavité est déterminée par la seconde dérivée.
- Les inflexions se produisent où la concavité change.
- Les règles de dérivation doivent être bien maîtrisées.
- Cherchez toujours \( f'(x) = 0 \) pour les points critiques.
- Utilisez des tests de signe pour analyser le comportement des fonctions.
- Documenter chaque étape est crucial pour la clarté.
Définitions et descriptions
- Dérivée : Mesure de la variation d'une fonction par rapport à une variable.
- Point critique : Point où la dérivée est égale à zéro ou non définie.
- Concavité : Caractérise la direction de la courbure d'une fonction.
- Inflexion : Point où la concavité d'une fonction change.
