Exercices intermédiaires sur les fonctions et leurs graphes

Enrichis tes connaissances sur les fonctions et leur représentation graphique avec ces exercices intermédiaires et corrigés entièrement.

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Exercice intermédiaire sur les fonctions et leurs graphes

Voici un exercice vous permettant d'appliquer vos connaissances sur les fonctions et leurs représentations graphiques. Lisez attentivement le texte suivant et répondez aux questions qui suivent.

Règles de base sur les fonctions

Définition d'une fonction : une relation entre un ensemble d'entrées et un ensemble de sorties.
Notation : f(x) pour désigner la fonction f appliquée à x.
Graphique d'une fonction : représentation visuelle de la fonction dans un repère.
Propriétés des fonctions : monotonie, continuité, limites.
Analyse des zéros : points où f(x) = 0.
Symétrie : vérifier si f(x) = f(-x) pour la symétrie par rapport à l'axe vertical.

Indications pour résoudre l'exercice

Étudiez les caractéristiques de la fonction.
Tracez le graphique pour visualiser les comportements.
Recherchez les variations et les points critiques.
Utilisez des calculs pour déterminer les intersections avec les axes.
Identifiez les asymptotes si elles existent.

Solutions détaillées des questions

Question 1 :

Soit la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).

1. Déterminez les racines de la fonction en résolvant l’équation \( f(x) = 0 \).

Utilisez la formule quadratique :

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

Avec \( a = 1, b = -4, c = 3 \):

\( x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \)

Les solutions sont \( x_1 = 3 \) et \( x_2 = 1 \).

Question 2 :

Tracez le graphique de la fonction \( f(x) \).

Question 3 :

Déterminez le sommet de la parabole.

Le sommet d'une parabole est donné par \( x = -\frac{b}{2a} \). Ici, \( b = -4 \), donc :

\( x = \frac{4}{2} = 2 \)

Pour déterminer l’ordonnée du sommet, remplacez x par 2 dans f(x) :

\( f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)

Le sommet est donc \( (2, -1) \).

Question 4 :

Analysez le sens de variation de la fonction.

La dérivée \( f'(x) = 2x - 4 \). Trouvez où \( f'(x) = 0 \):

En résolvant, \( 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \). Pour x < 2, \( f' < 0 \) (décroissante), et pour x > 2, \( f' > 0 \) (croissante).

La fonction est décroissante sur \( (-\infty, 2) \) et croissante sur \( (2, +\infty) \).

Points clés à retenir

Une fonction est définie par une relation unique entre chaque élément d'un ensemble et sa sortie.
Le graphique d'une fonction aide à visualiser ses propriétés.
Les racines d'une fonction sont les points d'intersection avec l'axe x.
Le sommet d'une parabole peut indiquer un maximum ou un minimum local.
La dérivée permet de connaître la monotonie de la fonction.
Les asymptotes sont des lignes que la fonction ne touche jamais.

Définitions importantes

Fonction : Relation qui associe à chaque élément d'un ensemble un unique élément d'un autre ensemble.
Racine : Valeur de x pour laquelle f(x) = 0.
Monotonie : Propriété qui détermine si une fonction est croissante ou décroissante.
Asymptote : Une ligne que la courbe d'une fonction se rapproche mais ne touche jamais.
Sommet : Point maximal ou minimal d'une parabole dans le cas d'une fonction quadratique.