Exercices corrigés faciles sur les limites de fonctions

Découvrez des exercices corrigés simples pour maîtriser les limites de fonctions au lycée. Commencez facilement avec ces exemples pour améliorer vos compétences.

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Exercices corrigés faciles sur les limites de fonctions

Voici un ensemble de questions sur la notion de limites de fonctions, idéal pour les élèves de collège et lycée. Chaque question est suivie de sa solution détaillée.

1. Déterminer la limite de la fonction $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ quand $ x $ tend vers 1.
2. Calculer la limite de $ g(x) = \sin(x) $ quand $ x $ tend vers 0.
3. Trouver la limite de $ h(x) = \frac{e^x - 1}{x} $ quand $ x $ tend vers 0.
4. Déterminer la limite de $ p(x) = \frac{1}{x} $ quand $ x $ tend vers $ +\infty $.
5. Calculer la limite de $ q(x) = \frac{\ln(x)}{x} $ quand $ x $ tend vers $ +\infty $.

Règles concernant les limites de fonctions

Si $ f(x) $ et $ g(x) $ tendent vers $ L $ quand $ x $ tend vers $ a $, alors $ f(x) + g(x) $ tend vers $ 2L $.
Si $ f(x) $ tend vers $ L $ et $ g(x) $ est non nul alors $ f(x) \times g(x) $ tend vers $ L \times g(a) $.
Pour $ \frac{f(x)}{g(x)} $, si $ g(a) \neq 0 $, alors limite de $ \frac{f(x)}{g(x)} $ tend vers $ \frac{L}{g(a)} $.

    graph TD;      A[Limite d'une fonction] --> B[Addition]      A --> C[Multiplication]      A --> D[Quotient]      B --> E[[f(x) + g(x)]]      C --> F[[f(x) * g(x)]]      D --> G[[f(x) / g(x)]]

Indications pour résoudre les limites

Pour une fonction rationnelle, factoriser si possible.
Utiliser des approximations comme $ \sin(x) \approx x $ quand $ x $ est proche de 0.
Rappeler que $ e^x \approx 1 + x $ pour $ x $ proche de 0.
Vérifier les formes indéterminées comme $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $.

Solutions détaillées

1. Pour la limite de $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ quand $ x $ tend vers 1, nous avons :

$$ f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad (x \neq 1) $$

La limite est donc $ \lim_{x \to 1} f(x) = 1 + 1 = 2 $.

2. Pour $ g(x) = \sin(x) $ quand $ x $ tend vers 0, nous savons que $ \lim_{x \to 0} \sin(x) = 0 $.

3. En utilisant l'expansion de $ e^x $, nous trouvons :

$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $$

4. Pour $ p(x) = \frac{1}{x} $ quand $ x \to +\infty $, la limite est $ 0 $.

5. Pour $ q(x) = \frac{\ln(x)}{x} $ quand $ x \to +\infty $, en utilisant L'Hôpital :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 $$

Points clés à retenir sur les limites

Les limites aident à évaluer le comportement des fonctions à des points particuliers.
Comprendre les formes indéterminées est essentiel pour résoudre les limites.
Utiliser L'Hôpital lorsque la limite est sous forme indéterminée.
Les limites peuvent être calculées par substitution directe si la fonction est continue.
Les limites à l'infini montrent le comportement asymptotique des fonctions.
Un bon nombre de fonctions simples ont des limites bien connues.
La continuité et les limites sont intimement liées.
Les règles de l'addition, la multiplication et le quotient s'appliquent aux limites.
Les fonctions trigonométriques ont aussi des limites qui doivent être mémorisées.
Pratiquer avec des exemples variés renforce la compréhension.

Définitions importantes des limites de fonctions

Limite : La valeur que prend une fonction lorsqu'elle approche un point donné.
Forme indéterminée : Situation rencontrée lors de l'évaluation des limites qui nécessite des méthodes spécifiques (ex. $ \frac{0}{0} $).
Continuité : Une fonction est continue si sa limite en tout point est égale à sa valeur à ce point.
Asymptote : Comportement d'une fonction qui ne tend pas vers une valeur finie.
Différentiabilité : Une fonction est différentiable en un point si elle a une limite de pente (dérivée) à ce point.