Exercices corrigés simples sur les règles de dérivation
Découvrez des exercices corrigés simples sur les règles de dérivation pour renforcer vos compétences en mathématiques au niveau collège et lycée.
Exercices Corrigés de Dérivation
Dans cet exercice, nous allons aborder les règles de dérivation fondamentales à travers plusieurs questions. Voici les questions posées :- 1. Déterminer la dérivée de la fonction \( f(x) = 3x^2 + 5x - 2 \).
- 2. Calculez la dérivée de la fonction \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \).
- 3. Trouver la dérivée de la fonction \( h(x) = e^{2x} \).
- 4. Calculez la dérivée de \( p(x) = \frac{1}{x^2} \).
- 5. Déterminez la dérivée de \( q(x) = \ln(x) \cdot x^3 \).
- 6. Trouver les points critiques de la fonction \( r(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2 \).
Règles de Dérivation
- Règle de la somme : \( (f + g)' = f' + g' \)
- Règle du produit : \( (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \)
- Règle du quotient : \( \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} \)
- Règle de la puissance : \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)
- Règle de la chaîne : \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Indications pour Résoudre les Exercices
- Identifiez les types de fonctions avant de dériver.
- Appliquez les règles de dérivation correspondant à chaque type de fonction.
- N'oubliez pas de simplifier les résultats.
- Vérifiez si la fonction a des points critiques en résolvant \( f'(x) = 0 \).
- Utilisez les relations trigonométriques si nécessaire pour les dérivées de \( \sin \) et \( \cos \).
Corrections Détailées
Question 1 :
Pour \( f(x) = 3x^2 + 5x - 2 \), la dérivée est :
\( f'(x) = (3x^2)' + (5x)' + (-2)' = 6x + 5 + 0 = 6x + 5 \)
Question 2 :
Pour \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \), la dérivée est :
\( g'(x) = (\sin(x))' + (\cos(x))' = \cos(x) - \sin(x) \)
Question 3 :
Pour \( h(x) = e^{2x} \), utilisez la règle de la chaîne :
\( h'(x) = e^{2x} \cdot (2) = 2e^{2x} \)
Question 4 :
Pour \( p(x) = \frac{1}{x^2} \), appliquez la règle du quotient :
\( p'(x) = -\frac{2}{x^3} \)
Question 5 :
Pour \( q(x) = \ln(x) \cdot x^3 \), utilisez la règle du produit :
\( q'(x) = (\ln(x))' \cdot x^3 + \ln(x) \cdot (x^3)' = \frac{1}{x} \cdot x^3 + \ln(x) \cdot 3x^2 = x^2 + 3x^2 \ln(x) \)
Question 6 :
Pour \( r(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2 \), calculez la dérivée :
\( r'(x) = 12x^2 - 12x \)
Ensuite, pour trouver les points critiques, résolvez : \[ 12x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 12x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x = 1 \]Points Clés à Retenir
- Comprendre chaque règle de dérivation.
- Être capable d'identifier des fonctions de base.
- Appliquer les règles de manière séquentielle.
- Utiliser la règle du produit et du quotient avec précaution.
- Poser des équations pour les points critiques.
- Connaître les dérivées des fonctions élémentaires.
- Utiliser la simplification pour vérifier vos réponses.
- Pratiquer avec des exemples variés pour maîtriser les concepts.
- Reconnaître les fonctions composées pour la règle de la chaîne.
- Être patient et précis lors des calculs de dérivation.
Définitions Importantes
- Dérivée : La mesure de la variation d'une fonction par rapport à une variable.
- Fonction : Une relation qui associe chaque élément d'un ensemble à exactement un élément d'un autre ensemble.
- Point critique : Un point où la dérivée d'une fonction est nulle ou indéfinie.
- Règle de la chaîne : Une méthode pour dériver la composition de deux ou plusieurs fonctions.
- Règle du produit : Une méthode pour dériver le produit de deux fonctions.
- Règle du quotient : Une méthode pour dériver le quotient de deux fonctions.
- Fonction exponentielle : Une fonction de la forme \( f(x) = e^{kx} \).
- Logarithme naturel : La fonction inverse de la fonction exponentielle, notée \( \ln(x) \).
- Trigonométrie : L'étude des relations entre les angles et les côtés des triangles.
- Polynôme : Une expression algébrique composée de termes qui sont des constantes et des variables élevées à des puissances entières non négatives.
