Exercices de dérivation pour débutants avec corrigés
Parfait pour les débutants, ces exercices de dérivation corrigés vous aideront à maîtriser les notions fondamentales de l'analyse en mathématiques.
Exercices de dérivation pour débutants
Voici un exercice pratique sur les dérivées, adapté pour les élèves de collège et de lycée. L'objectif est de se familiariser avec les règles de dérivation fondamentales.- Question 1 : Trouvez la dérivée de la fonction \( f(x) = 3x^2 + 5x - 4 \).
- Question 2 : Calculez la dérivée de la fonction \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \).
- Question 3 : Déterminez la dérivée de la fonction \( h(x) = e^x \cdot \ln(x) \).
- Question 4 : Quelle est la dérivée de la fonction \( k(x) = \frac{1}{x^2} \) ?
Règles de dérivation
- Règle de puissance: \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
- Dérivée de la somme: \( \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) \)
- Dérivée du produit: \( \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) \)
- Dérivée du quotient: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \)
- Dérivée de \( \sin(x) \): \( \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \)
- Dérivée de \( \cos(x) \): \( \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \)
- Dérivée de \( e^x \): \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
- Dérivée de \( \ln(x) \): \( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \)
graph TD;
A[Règles de Dérivation] --> B[Somme];
A --> C[Produit];
A --> D[Quotient];
A --> E[Puissance];
A --> F[Sin et Cos];
Indications pour résoudre les exercices
- Identifiez le type de fonction pour choisir la règle de dérivation appropriée.
- Prenez en compte les constantes lors de la dérivation.
- Utilisez la dérivée de \( e^x \) et \( \ln(x) \) lorsque cela est nécessaire.
- Pour les produits ou quotients, attention à bien appliquer les formules correspondantes.
- Vérifiez vos calculs étape par étape.
Corrigés des exercices de dérivation
Question 1
Pour \( f(x) = 3x^2 + 5x - 4 \), on utilise la règle de puissance:
\[ f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 6x + 5 \]Question 2
Pour \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \):
\[ g'(x) = \cos(x) - \sin(x) \]Question 3
Pour \( h(x) = e^x \cdot \ln(x) \), on utilise la règle du produit:
\[ h'(x) = e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x\left(\ln(x) + \frac{1}{x}\right) \]Question 4
Pour \( k(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} \):
\[ k'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \]Points clés à retenir sur la dérivation
- La dérivée mesure la vitesse de changement d'une fonction.
- Les règles de dérivation doivent être bien maîtrisées.
- Chaque fonction a ses propres propriétés de dérivation.
- Les constantes se multiplient dans les règles de puissance.
- La pratique des exercices aide à comprendre les dérivées.
- Les dérivées peuvent redonner une nouvelle fonction.
- Utiliser les graphiques pour visualiser les dérivées est utile.
- Ne pas hésiter à revoir les concepts théoriques.
- Les erreurs fréquentes incluent la négligence des signes.
- Les fonctions composées nécessitent l'utilisation de la règle de la chaîne.
Définitions des termes utilisés
- Dérivée : La dérivée d'une fonction est une mesure de sa variation.
- Règle de puissance : Méthode utilisée pour dériver les fonctions de la forme \( x^n \).
- Règle du produit : Technique pour dériver le produit de deux fonctions.
- Règle du quotient : Méthode pour dériver le quotient de deux fonctions.
- Fonction constante : Une fonction qui ne change pas, sa dérivée est 0.
- Fonction composee : Une fonction qui est l'assemblage de deux ou plusieurs fonctions.
- Graphique : Représentation visuelle d'une fonction ou de ses dérivées.