Pratique avancée des règles de dérivation exercices corrigés
Perfectionnez vos compétences avec des exercices avancés sur les règles de dérivation, tous accompagnés de corrigés détaillés pour vous guider.
Pratique avancée des règles de dérivation : Exercices corrigés
À travers cet exercice, nous allons appliquer les règles de dérivation aux fonctions suivantes. Résolvez chaque question en montrant toute votre démarche."/>- Question 1 : Calculez la dérivée de \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2 \)
- Question 2 : Trouvez la dérivée de \( g(x) = e^{2x} \sin(x) \)
- Question 3 : Calculez la dérivée de \( h(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)
- Question 4 : Déterminez la dérivée de \( k(x) = \ln(x^2 + 1) \)
- Question 5 : Trouvez la dérivée de \( p(x) = \sqrt{x^3 + 4x} \)
- Question 6 : Calculez la dérivée de \( q(x) = x^3 \cos(x) \)
Règles de dérivation essentielles
- Règle de puissance : si \( f(x) = x^n \), alors \( f'(x) = nx^{n-1} \)
- Règle du produit : si \( f(x) = u(x)v(x) \), alors \( f'(x) = u'v + uv' \)
- Règle du quotient : si \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), alors \( f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Règle de la chaîne : si \( f(x) = g(h(x)) \), alors \( f'(x) = g'(h(x)) h'(x) \)
- Règle de la dérivation exponentielle : si \( f(x) = e^{u(x)} \), alors \( f'(x) = e^{u(x)} u'(x) \)
- Règle de dérivation logarithmique : si \( f(x) = \ln(u(x)) \), alors \( f'(x) = \frac{u'}{u} \)
Indications utiles pour résoudre les exercices
- N'oubliez pas d'identifier chaque fonction avant d'appliquer les règles.- Utilisez des substitutions lorsque vous êtes confronté à des fonctions composées.- Révisez la manipulation des expressions algébriques avant d'appliquer la règle du quotient.- Pour les fonctions trigonométriques, rappelez-vous les dérivées de base (ex. : \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \)).Solutions détaillées des exercices
Question 1 :
Pour la fonction \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2 \), nous appliquons la règle de puissance :
\[f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 12x^3 - 10x\]
Question 2 :
Pour \( g(x) = e^{2x} \sin(x) \), nous appliquons la règle du produit :
\[g'(x) = e^{2x} \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x))\]
Question 3 :
Pour \( h(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \), nous appliquons la règle du quotient :
\[h'(x) = \frac{0(x^2 + 1) - 1 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\]
Question 4 :
Pour \( k(x) = \ln(x^2 + 1) \), nous appliquons la règle de dérivation logarithmique :
\[k'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\]
Question 5 :
Pour \( p(x) = \sqrt{x^3 + 4x} \), nous appliquons la règle de la chaîne :
\[p'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 4x}}(3x^2 + 4)\]
Question 6 :
Pour \( q(x) = x^3 \cos(x) \), nous appliquons la règle du produit :
\[q'(x) = 3x^2 \cos(x) - x^3 \sin(x)\]
Points clés à retenir sur les règles de dérivation
- Maîtrisez les règles de base de dérivation.
- Faites attention aux parenthèses lors du calcul des dérivées.
- Vérifiez toujours vos unités lors de la modélisation.
- Exercez-vous régulièrement avec des problèmes variés.
- Utilisez des graphiques pour visualiser les fonctions et leurs dérivées.
- Les dérivées sont essentielles pour la recherche de maxima et minima.
- Familiarisez-vous avec les fonctions exponentielles et logarithmiques.
- Apprenez à combiner les règle selon les besoins des fonctions.
- Exploitez les relations entre les fonctions et leurs dérivées.
- Revisez fréquemment les concepts liés aux limites.
Définitions des termes clés
- Dérivée : Représente la pente de la tangente à une courbe à un point donné.
- Règle de puissance : Permet de calculer la dérivée d'une fonction polynomiale.
- Règle du produit : Utilisée pour dériver le produit de deux fonctions.
- Règle du quotient : Permet de dériver le quotient de deux fonctions.
- Règle de la chaîne : Utilisée pour les fonctions composées.
- Fonction trigonométrique : Fonction reliée à un angle, comme le sinus ou le cosinus.
- Fonction exponentielle : Fonction où la variable est dans l'exposant, souvent notée \( e^x \).
- Fonction logarithmique : La fonction inverse de l'exponentielle, souvent notée \( \ln(x) \).
- Maximum/Minimum : Points où une fonction atteint ses valeurs extrêmes localement.
- Équation différentielle : Une équation contenant des dérivées de fonctions inconnues.
