Dérivation exercices corrigés variés pour tous niveaux
Explorez une série d'exercices variés sur les règles de dérivation avec leurs corrigés pour tous les niveaux des élèves de collège et lycée.
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Exercice de Dérivation : Exercices Corrigés Variés pour Lycée et Collège
Dans cet exercice, nous allons traiter plusieurs questions sur la dérivation. Voici les questions à résoudre :- Question 1 : Dériver la fonction \( f(x) = 3x^3 - 5x + 2 \).
- Question 2 : Trouver la pente de la tangente à la courbe de \( g(x) = \sin(x) \) en \( x = \frac{\pi}{4} \).
- Question 3 : Calculez la dérivée seconde de \( h(x) = e^{2x} \).
- Question 4 : Trouver les points critiques de la fonction \( j(x) = x^4 - 8x^2 + 4 \).
- Question 5 : Résoudre \( \frac{dy}{dx} = 2x + 3 \) avec \( y(0) = 1 \).
Règles de Dérivation
- Règle de la puissance : \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)
- Règle de somme : \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \)
- Règle de produit : \( (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \)
- Règle du quotient : \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} \)
- Règle de la chaîne : \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
graph TD;
A[Règles de dérivation] --> B[Règle de la puissance]
A --> C[Règle de somme]
A --> D[Règle de produit]
A --> E[Règle du quotient]
A --> F[Règle de la chaîne]
Indications pour résoudre les exercices
- Identifiez le type de fonction pour appliquer la bonne règle de dérivation.
- Pour la dérivée seconde, dérivez la fonction première une nouvelle fois.
- Pour trouver les points critiques, résolvez \( f'(x) = 0 \).
- Utilisez les valeurs des dérivées pour établir les pentes de tangentes.
- Pour les équations différentielles, intégrez si nécessaire pour trouver la solution.
Solutions Pas-à-Pas des Exercices
Question 1 : Dériver \( f(x) = 3x^3 - 5x + 2 \)
Application de la règle de puissance :
\( f'(x) = (3 \cdot 3x^{3-1}) - (5 \cdot 1) + 0 = 9x^2 - 5 \)
Question 2 : Trouver \( g'(x) = \cos(x) \) à \( x= \frac{\pi}{4} \)
Calcul de \( g'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Question 3 : Dérivée seconde de \( h(x) = e^{2x} \)
Première dérivée : \( h'(x) = 2e^{2x} \)
Dérivée seconde : \( h''(x) = 4e^{2x} \)
Question 4 : Résoudre \( j'(x) = 4x^3 - 16x \)
Équation \( 4x(x^2 - 4) = 0 \) donc \( x = 0, \pm 2 \) sont les points critiques.
Question 5 : Résoudre \( \frac{dy}{dx} = 2x + 3 \)
Intégration : \( y = x^2 + 3x + C \)
Avec \( y(0) = 1 \) => \( C = 1 \), donc \( y = x^2 + 3x + 1 \).
Points Clés à Retenir sur la Dérivation
- La dérivation permet de calculer les pentes des tangentes.
- Il existe plusieurs règles de dérivation à connaître.
- Les points critiques sont essentiels pour analyser le comportement d’une fonction.
- Les dérivées successives fournissent des informations sur la concavité.
- Les dérivées peuvent être appliquées à des fonctions composées.
- La pratique régulière aide à maîtriser les règles de dérivation.
- Les équations différentielles peuvent être résolues par intégration.
- Les logiciels de calcul formel peuvent aider dans la dérivation.
- La graphologie des dérivées améliore la compréhension visuelle.
- Utiliser des exemples variés pour une meilleure compréhension.
Définitions Clés en Dérivation
- Dérivée : La dérivée d'une fonction mesure le taux de variation de cette fonction.
- Point critique : Un point où la dérivée est nulle ou indéfinie.
- Dérivée seconde : La dérivée de la dérivée, utilisée pour déterminer la concavité.
- Fonction composées : Une fonction qui est formée en plaçant une fonction à l'intérieur d'une autre.
- Règle de Leibniz : Une méthode pour dériver le produit de deux fonctions.