Exercices corrigés sur les degrés et radians pour débutants
Découvrez des exercices corrigés simples sur les relations entre degrés et radians pour les élèves du Lycée et Collège. Idéal pour renforcer vos bases.
Exercices corrigés sur les degrés et radians
Voici une série d'exercices sur les conversions entre les degrés et les radians, ainsi que leur utilisation dans des problèmes géométriques. Répondez aux questions suivantes :- Convertissez 180° en radians.
- Quel est l'équivalent en degrés de $\pi$ radians ?
- Convertissez 45° en radians.
- Si un cercle a un angle de 90°, quel est l'arc correspondant en radians ?
- Quel est le diamètre d'un cercle qui a un arc de 2 radians ?
- Combien de degrés correspondent à 3$\pi$/4 radians ?
- Calculez la longueur d'un arc de 60° dans un cercle de rayon 5 cm.
- Quelles sont les relations entre radians et degrés pour un angle de 30° ?
Règles et formules essentielles
- Pour convertir des degrés en radians, utilisez la formule suivante : $$\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180}$$
- Pour convertir des radians en degrés : $$\text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$$
- Pour un cercle, la relation entre l'arc (L), le rayon (r), et l'angle en radians (θ) est : $$L = r \times \theta$$
- Rappel : un cercle complet est 360° ou $2\pi$ radians.
Indications utiles pour résoudre les exercices
- Tracez des cercles pour visualiser les angles et leurs arcs.
- Utilisez une calculatrice pour vérifier les conversions si nécessaire.
- Pour les longueurs d'arc, assurez-vous de toujours utiliser le rayon en unités compatibles avec l'arc.
Corrigés détaillés des exercices
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Convertir 180° en radians :
Utilisez la formule : $$\text{radians} = 180 \times \frac{\pi}{180} = \pi$$
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Convertir $\pi$ radians en degrés :
Utilisez la formule : $$\text{degrés} = \pi \times \frac{180}{\pi} = 180°$$
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Convertir 45° en radians :
$$\text{radians} = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$$
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Convertir 90° en radians :
$$\text{radians} = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$$
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Calculer le diamètre d'un arc de 2 radians :
Nous savons que $$L = r \times \theta$$, donc pour un arc, on a $$r = \frac{L}{\theta} = \frac{2}{2} = 1$$ cm, donc le diamètre est $$d = 2 \times r = 2 \text{ cm}$$.
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Convertir 3$\pi$/4 radians en degrés :
$$\text{degrés} = 3\frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 135°$$
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Calculer la longueur d'un arc de 60° dans un cercle de rayon 5 cm :
$$L = r \times \theta = 5 \times \frac{60 \times \pi}{180} = 5 \times \frac{\pi}{3} \approx 5.24 \text{ cm}$$
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Relations pour l'angle de 30° :
30° équivaut à $$\frac{30 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{6}$$ radians.
Points clés à retenir
- 1 tour complet = 360° = $2\pi$ radians.
- Les conversions entre degrés et radians sont essentielles en trigonométrie.
- Utilisez des graphiques pour mieux comprendre les angles.
- La longueur d'un arc dépend du rayon et de l'angle en radians.
- Pratiquez avec des exemples quotidiens pour renforcer la mémorisation.
- Un angle de 45° est toujours $ \frac{\pi}{4}$ radians.
- Un angle de 90° est $ \frac{\pi}{2}$ radians.
- Connaître les transformations standards pour les angles fréquents aide à rapidité de calcul.
- Les unités doivent être cohérentes lors de l'utilisation de formules.
- Prendre en compte le contexte (cercle, rotation) lors de l'évaluation des angles.
Définitions des termes utilisés
- Degré : Unité de mesure d'angle, 360 degrés représentent un cercle complet.
- Radian : Unité de mesure d'angle qui correspond à l'angle au centre d'un cercle dont l'arc a la même longueur que le rayon.
- Longueur d'arc : La distance le long d'un arc d'un cercle.
- Cercle : Ensemble des points à une distance fixe d'un point donné (centre).
- Rayon : Distance entre le centre d'un cercle et n'importe quel point sur le cercle.