Exercices corrigés intermédiaires sur radians et degrés
Explorez des exercices corrigés intermédiaires qui vous aideront à mieux comprendre la conversion entre degrés et radians. Parfait pour le Lycée et Collège.
Exercices Corrigés sur les Radians et Degrés
Aujourd'hui, nous allons explorer les relations entre les angles en radians et en degrés à travers une série de questions pratiques. Veuillez répondre aux questions suivantes :- Question 1 : Convertissez \( 90^\circ \) en radians.
- Question 2 : Convertissez \( \frac{\pi}{4} \) radians en degrés.
- Question 3 : Calculez l'arc correspondant à un angle de \( 120^\circ \) sur un cercle de rayon 5 cm.
- Question 4 : Quel est l'angle en degrés correspondant à \( 2\pi \) radians ?
- Question 5 : Si un angle mesure \( 300^\circ \), quelle est sa mesure en radians ?
- Question 6 : Trouvez l'angle complémentaire à \( 45^\circ \) en utilisant des radians.
- Question 7 : Dessinez un cercle et montrez l'angle de \( \frac{\pi}{3} \) radians.
- Question 8 : Comparez la longueur d'arc de \( 90^\circ \) et \( \frac{\pi}{2} \) radians sur un cercle de rayon 4 cm.
Règles et Formules pour les Angles
- Pour convertir des degrés en radians : \( \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times \text{degrés} \)
- Pour convertir des radians en degrés : \( \text{degrés} = \frac{180}{\pi} \times \text{radians} \)
- La mesure d'un arc est donnée par la formule : \( \text{longueur de l'arc} = r \times \theta \), où \( \theta \) est en radians.
- Les angles complémentaires ajoutent jusqu'à \( 90^\circ \) ou \( \frac{\pi}{2} \) radians.
Indications pour Gérer les Radians et Degrés
- Utilisez des tableaux de conversion pour faciliter les calculs.
- Faites attention à la mesure de votre rayon lors du calcul de la longueur de l'arc.
- Pour les angles, dessinez toujours un schéma pour visualiser la relation.
- Rappelez-vous que \( 2\pi \) radians est un tour complet, soit \( 360^\circ \).
Solutions Détaillées
Question 1
Pour convertir \( 90^\circ \) en radians :
\[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times 90 = \frac{\pi}{2} \text{ radians} \]
Question 2
Pour convertir \( \frac{\pi}{4} \) radians en degrés :
\[ \text{degrés} = \frac{180}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]
Question 3
Calculons l'arc correspondant à \( 120^\circ \) sur un cercle de rayon 5 cm :
\[ \text{longueur de l'arc} = r \times \theta \]
\[ \theta = \frac{\pi}{180} \times 120 = \frac{2\pi}{3} \text{ radians} \]
\[ \text{longueur de l'arc} = 5 \times \frac{2\pi}{3} \approx 10.47 \text{ cm} \]
Question 4
Pour déterminer l'angle en degrés correspondant à \( 2\pi \) radians :
\[ \text{degrés} = \frac{180}{\pi} \times 2\pi = 360^\circ \]
Question 5
Si un angle mesure \( 300^\circ \), pour le convertir en radians :
\[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times 300 = \frac{5\pi}{3} \text{ radians} \]
Question 6
Pour trouver l'angle complémentaire de \( 45^\circ \) :
\[ 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \text{ ou } \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \text{ radians} \]
Question 7
Pour dessiner un cercle et montrer l'angle de \( \frac{\pi}{3} \) radians :
Un angle de \( \frac{\pi}{3} \) radians mesure 60°.
Question 8
Comparons la longueur d'arc de \( 90^\circ \) et \( \frac{\pi}{2} \) sur un cercle de rayon 4 cm :
Pour \( 90^\circ \):
\[ \text{longueur de l'arc} = 4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi \approx 6.28 \text{ cm} \]
Pour \( \frac{\pi}{2} \):
\[ \text{longueur de l'arc} = 4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi \approx 6.28 \text{ cm} \]
Les deux longueurs d'arc sont égales.
Points Clés à Retenir
- Conversions entre radians et degrés sont essentielles.
- Un cercle complet fait \( 360^\circ \) ou \( 2\pi \) radians.
- Les angles doivent être visualisés sur un cercle.
- Utilisez toujours le rayon pour calculer des longueurs d'arc.
- Les angles complémentaires forment \( 90^\circ \).
- Les angles sont mesurés dans le sens trigonométrique.
- Les formules doivent être mémorisées.
- Les conversions doivent être pratiquées.
- Utilisez des diagrammes pour faciliter la compréhension.
- Rappelez-vous que \( \pi \) est une constante approximativement égale à 3.14.
Définitions Importantes
- Radian : Un angle qui correspond à une longueur d'arc égale au rayon du cercle.
- Degré : Une unité de mesure des angles, où un cercle complet est divisé en \( 360 \) parties.
- Arc : Une portion de la circonférence d'un cercle.
- Rayon : La distance du centre d'un cercle à un point sur sa circonférence.
- Angle complémentaire : Deux angles dont la somme est \( 90^\circ \).