Exercices de Radians et de Trigonométrie Niveau Avancé
Pour les étudiants avancés, ces exercices corrigés vous aideront à maîtriser les radians et leur application dans les fonctions trigonométriques.
Exercices de Radians et de Trigonométrie Niveau Avancé
Énoncé : Voici une série d'exercices avancés sur les radians et la trigonométrie. Répondez aux questions suivantes :- Convertissez 120° en radians.
- Calculez \( \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \) et \( \cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right) \).
- Résolvez l'équation trigonométrique \( \tan(x) = \sqrt{3} \) pour \( 0 \leq x < 2\pi \).
- Évaluez \( \sin(2x) \) lorsque \( x = \frac{\pi}{4} \).
- Calculez la longueur d'un arc de cercle de rayon 3 cm pour un angle central de \( \frac{\pi}{3} \) radians.
- Déterminez les coordonnées du point sur le cercle unité correspondant à un angle de \( \frac{2\pi}{3} \) radians.
- Montrez graphiquement la relation entre les angles en radians et en degrés à l'aide d'un graphique.
- Si \( y = \cos(x) \), quelle est la période de cette fonction et quelles sont ses valeurs maximales et minimales ?
Règles et Formules Essentielles
- Pour convertir des degrés en radians, utilisez la formule : \( \text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \).
- Les fonctions trigonométriques de base :
- \( \sin(x) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \)
- \( \cos(x) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \)
- \( \tan(x) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \)
- Les identités trigonométriques :
- \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)
- \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
- Période de \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) : \( 2\pi \) ; période de \( \tan(x) : \pi \).
- Longueur d'un arc : \( L = r \theta \), où \( r \) est le rayon et \( \theta \) est en radians.
Indications et Conseils
- Utilisez un cercle trigonométrique pour visualiser les angles et les longueurs des côtés.
- Pour résoudre \( \tan(x) = \sqrt{3} \), considérez l'angles notables et leurs valeurs.
- Explorez l'usage des identités trigonométriques pour simplifier des problèmes.
Solutions Détailées
1. Convertissez 120° en radians.
Utilisez la formule : $$\text{radians} = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$$
2. Calculez \( \sin(\frac{5\pi}{6}) \) et \( \cos(-\frac{7\pi}{4}) \).
Pour \( \sin(\frac{5\pi}{6}) \): $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$
Pour \( \cos(-\frac{7\pi}{4}) \): $$\cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
3. Résolvez \( \tan(x) = \sqrt{3} \) pour \( 0 \leq x < 2\pi \).
Les solutions sont : $$x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$$
4. Évaluez \( \sin(2x) \) lorsque \( x = \frac{\pi}{4} \).
Utilisez l'identité \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \): $$\sin\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$
5. Longueur d'arc pour un angle de \( \frac{\pi}{3} \).
Utilisez la formule : $$L = r \theta = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi \text{ cm}$$
6. Coordonnées du point sur le cercle unité à \( \frac{2\pi}{3} \).
Les coordonnées sont : $$(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$
7. Graphique de la relation angles en radians et en degrés.
8. Période et valeurs de la fonction \( y = \cos(x) \).
La période est \( 2\pi \). Les valeurs maximales et minimales sont : $$\text{Max} = 1, \text{Min} = -1$$
Points Clés à Retenir
- 1 radian = 57,2958 degrés.
- Les fonctions trigonométriques sont périodiques.
- Utilisez le cercle unité pour visualiser les relations trigonométriques.
- Tout angle peut être exprimé en radians.
- La longueur d'un arc dépend de l'angle en radians.
- La relation entre sin et cos est essentielle et souvent utilisée.
- Les valeurs des fonctions à des angles notables sont à connaître par cœur.
- Les identités trigonométriques permettent de résoudre diverses équations.
- Trigonometry is geometrically related to angles and triangles.
- Les graphiques aident à mieux comprendre les périodes et amplitudes des fonctions trigonométriques.
Définitions Importantes
- Radian : Un angle dont l'apex est égal à la longueur d'un arc de cercle dont le rayon est 1.
- Cercle unité : Un cercle de rayon 1 centré à l'origine du système de coordonnées.
- Fonction trigonométrique : Une fonction qui relie les angles aux rapports des longueurs des côtés d'un triangle.
- Période : La distance ou la période d'un cycle complet d'une fonction trigonométrique.
- Coordonnées polaires : Système de coordonnées basé sur la distance d'un point à l'origine et l'angle formé avec l'axe des abscisses.