Exercices corrigés d'approximation linéaire avec applications

Apprenez à appliquer l'approximation linéaire grâce à des exercices corrigés. Idéal pour approfondir vos notions mathématiques et réussir vos contrôles.

Exercices d'Approximation Linéaire avec Applications

Dans cet exercice, nous allons aborder le thème de l'approximation linéaire à travers diverses questions. L'approximation linéaire est un outil puissant en mathématiques, permettant d'estimer la valeur d'une fonction autour d'un point donné. Nous allons explorer cette notion à travers les questions suivantes :

Q1 : Déterminer l'approximation linéaire de la fonction \( f(x) = x^2 \) autour du point \( x = 2 \).
Q2 : Utiliser l'approximation linéaire pour estimer \( f(2.1) \) avec la fonction \( f(x) \) ci-dessus.
Q3 : Trouver l'équation de la tangente à la courbe de \( f(x) = \ln(x) \) au point \( x = 1 \).
Q4 : Estimer la valeur de \( f(0.9) \) en utilisant la tangente déterminée dans la question précédente.
Q5 : Expliquer comment l'approximation linéaire peut être utilisée pour analyser le comportement d'une fonction près d'un point.
Q6 : Calculer l'approximation linéaire pour \( f(x) = e^x \) au point \( x = 0 \).
Q7 : Estimer \( f(0.1) \) avec l’approximation linéaire trouvée à la question précédente.
Q8 : Discuter des limites et des bénéfices de l'approximation linéaire.

Règles et Formules d'Approximation Linéaire

L'approximation linéaire d'une fonction \( f \) autour d'un point \( a \) est donnée par : \[L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\]
La dérivée \( f'(a) \) représente la pente de la tangente à la courbe de \( f \) en \( a \).
Pour une petite variation \( x \) autour de \( a \), \( L(x) \) peut estimer \( f(x) \).

Indications pour Calculer l'Approximation Linéaire

Prenez la dérivée de la fonction au point d'intérêt.
Calculez la valeur de la fonction au point \( a \) dans \( L(x) \).
Utilisez l'expression linéaire pour estimer les valeurs proches de \( x \).

Corrigés des Exercices

Corrigé Q1

Pour \( f(x) = x^2 \), nous devons trouver la dérivée :

\(f'(x) = 2x\)

Au point \( a = 2 \), nous avons :

\(f'(2) = 2(2) = 4\)

En calculant \( f(2) \) :

\(f(2) = 2^2 = 4\)

Donc, l'approximation linéaire est :

\[L(x) = 4 + 4(x - 2)\]

Corrigé Q2

Pour estimer \( f(2.1) \) avec \( L(x) \) :

\[L(2.1) = 4 + 4(2.1 - 2) = 4 + 4(0.1) = 4 + 0.4 = 4.4\]

Corrigé Q3

Pour \( f(x) = \ln(x) \), la dérivée est :

\(f'(x) = \frac{1}{x}\)

Au point \( a = 1 \) :

\(f'(1) = \frac{1}{1} = 1\)

Ainsi, \( f(1) = \ln(1) = 0 \). On a l'équation de la tangente :

\[L(x) = 0 + 1(x - 1) = x - 1\]

Corrigé Q4

Pour estimer \( f(0.9) \) en utilisant la tangente :

\[L(0.9) = 0.9 - 1 = -0.1\]

Corrigé Q5

L'approximation linéaire permet d'analyser le comportement d'une fonction à proximité d'un point en simplifiant les calculs, notamment pour des fonctions non-linéaires.

Corrigé Q6

Pour \( f(x) = e^x \), la dérivée est :

\(f'(x) = e^x\)

Au point \( a = 0 \) :

\(f'(0) = e^0 = 1\)

Alors, \( f(0) = e^0 = 1 \). L'approximation linéaire est :

\[L(x) = 1 + 1(x - 0) = 1 + x\]

Corrigé Q7

Pour estimer \( f(0.1) \) :

\[L(0.1) = 1 + 0.1 = 1.1\]

Corrigé Q8

Les limites de l'approximation linéaire incluent l'erreur d'estimation pour les valeurs éloignées de \( a \). Ses bénéfices résident dans sa simplicité et sa rapidité, particulièrement utile en ingénierie et physique.

Points Clés à Retenir

L'approximation linéaire est utile pour estimer des valeurs proches d'un point donné.
La dérivée au point donne la pente de la tangente.
Une fonction approximée finit par diverger si l'on s'éloigne trop de \( a \).
Elle est particulièrement utile pour les fonctions non-linéaires.
Les coefficients trouvent une application dans divers domaines (physique, économie).
Les approximations fonctionnent mieux avec de petites variations de \( x \).
Utilisation fréquente dans les calculs d'ingénierie.
L'approximation linéaire peut conduire à des interprétations erronées sans précaution.
Permet d'étudier des variations instantanées.
Facilite la visualisation des relations fonctionnelles sur un graphique.

Définitions

Approximation Linéaire : Méthode pour approximer une fonction par une droite tangentielle.
Dérivée : Taux de variation d'une fonction en un point, donnant la pente de la tangente.
Tangente : Droite qui touche une courbe en un point et en a la même direction localement.
Fonction Non-Linéaire : Fonction dont le graphique ne suit pas une ligne droite.
Error Estimation : La quantité d'erreur associée à une approximation.