Exercices corrigés avancés sur l'approximation linéaire
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Exercice d'Approximation Linéaire en Mathématiques
Nous allons explorer l'approximation linéaire d'une fonction au voisinage d'un point donné à travers diverses questions pratiques. Voici les questions à traiter :- Question 1 : Calculez l’approximation linéaire de \( f(x) = x^2 \) au point \( a = 2 \).
- Question 2 : Utilisez l’approximation linéaire pour estimer \( f(2.1) \) où \( f(x) = x^3 \) au point \( a = 2 \).
- Question 3 : Comparez l’approximation linéaire de \( f(x) = \ln(x) \) au point \( a = 1 \) avec la valeur réelle de \( f(1.1) \).
- Question 4 : Dans quel cas l'approximation linéaire peut-elle être inexacte ?
Règles de l'Approximation Linéaire
- L'approximation linéaire d'une fonction \( f \) au point \( a \) est donnée par la formule :
\( L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \)
- La dérivée \( f'(a) \) représente le taux de variation de la fonction au point \( a \).
- L’intervalle de validité de l’approximation dépend de la convexité de la fonction.
- Plus \( x \) est proche de \( a \), plus l'approximation est précise.
Indications pour l'Approximation
- Identifiez la fonction et le point \( a \) pour l’approximation.
- Calculez \( f(a) \) et \( f'(a) \).
- Construisez l'équation de la droite tangente avec la formule \( L(x) \).
- Utilisez \( L(x) \) pour estimer les valeurs de \( f \) proches de \( a \).
Corrections Détailées
Question 1 :
Pour \( f(x) = x^2 \) et \( a = 2 \) :
- Calculons \( f(2) = 2^2 = 4 \).
- Calculons la dérivée : \( f'(x) = 2x \) donc \( f'(2) = 4 \).
- Alors, l'approximation linéaire est donnée par :
\( L(x) = 4 + 4(x - 2) \).
- Ce qui peut être réécrit comme \( L(x) = 4x - 4 \).
Question 2 :
Pour estimer \( f(2.1) \) avec \( f(x) = x^3 \) :
- Calculons \( f(2) = 2^3 = 8 \).
- Calculons la dérivée : \( f'(x) = 3x^2 \) donc \( f'(2) = 12 \).
- Alors, l'approximation linéaire est
\( L(x) = 8 + 12(x - 2) \).
- Estimation pour \( x = 2.1 \) :
\( L(2.1) = 8 + 12(0.1) = 8 + 1.2 = 9.2 \).
Question 3 :
Pour \( f(x) = \ln(x) \) au point \( a = 1 \) :
- Calculons \( f(1) = \ln(1) = 0 \).
- La dérivée \( f'(x) = \frac{1}{x} \) donc \( f'(1) = 1 \).
- Approximation :
\( L(x) = 0 + (x - 1) = x - 1 \).
- Pour \( x = 1.1 \),
\( L(1.1) = 1.1 - 1 = 0.1 \). La valeur réelle \( f(1.1) = \ln(1.1) \approx 0.0953 \). L'approximation est donc raisonnable.
Question 4 :
L'approximation linéaire peut être inexacte lorsque :
- La fonction présente des points d'inflexion ou des variations rapides.
- Lorsque l'intervalle \( [a, x] \) est large par rapport à la pente de la fonction.
- Lorsque la dérivée n'est pas constante dans l'intervalle étudié.
Points Clés à Retenir
- Formule de l'approximation linéaire.
- Rôle de la dérivée.
- Importance du point \( a \).
- Validité locale de l'approximation.
- Conditions d'exactitude de l'approximation.
- Utilisation pratique dans l'estimation des valeurs.
- Comparer approximations à des valeurs réelles.
- Visualiser avec des graphiques.
- Observer comportement de la fonction autour de \( a \).
- Reculer sur les erreurs courantes en approximation.
Définitions Importantes
- **Approximation Linéaire** : Approximative d'une fonction par une droite tangent au point donné.
- **Dérivée** : Taux de changement d’une fonction à un point donné, représentant la pente locale.
- **Point d'Inflexion** : Point où la concavité de la fonction change, ce qui peut influencer la précision de l'approximation.
- **Taux de Variation** : Mesure du changement d'une variable par rapport à une autre.
- **Estimation** : Valeur calculée approximativement pour une fonction basée sur une approximation.
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