Exercices intermédiaires sur la définition de la dérivée

Testez vos connaissances avec ces exercices intermédiaires sur la définition de la dérivée, tous corrigés pour vous aider à progresser.

Exercices intermédiaires sur la définition de la dérivée

Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \). Nous allons explorer la définition de la dérivée à travers plusieurs questions.

Question 1: Définir la dérivée de la fonction \( f \) au point \( a = 2 \).
Question 2: Calculer la dérivée de \( f \) en utilisant la définition de la dérivée.
Question 3: Que représente graphiquement la dérivée d'une fonction ?
Question 4: Trouver l'équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( a = 2 \).

Règles et méthodes pour la dérivée

La dérivée d'une fonction en un point \( a \) est donnée par: \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
La dérivée indique la pente de la tangente à la courbe en ce point.
La notation \( f'(x) \) représente la dérivée de \( f(x) \).
Pour calculer la dérivée d'une fonction polynomiale, utiliser les règles de dérivation.

graph TD; A(Definition de la dérivée) --> B{Limite}; B --> C(Limite du ratio); C --> D(Difference de \(f(a+h)\) et \(f(a)\)); D --> E(Dérivée);

Indications pour résoudre les questions

Pour la Question 1, appliquez la définition de la dérivée.
Pour la Question 2, calculez la limite lorsque \( h \) approche 0.
Pour la Question 3, pensez à la pente à un point sur le graphique.
Pour la Question 4, utilisez la formule de la tangente: \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \].

graph TD; A(Dérivée) --> B{Point sur la courbe}; B --> C[Pente]; B --> D[Tangente];

Solutions détaillées des questions

Question 1: La dérivée de la fonction \( f \) au point \( a = 2 \) est donc:\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 4}{h} \]

Calculez \( (2+h)^2 - 4 \) ce qui donne \( 4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2 \).

Ensuite, \[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4 \].Donc, \( f'(2) = 4 \).

Question 2: Pour dériver \( f(x) = x^2 \):\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x \].Ainsi, \( f'(x) = 2x \).

Question 3: La dérivée \( f'(x) \) représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction en un point donné.

Question 4: L'équation de la tangente à la courbe \( f \) au point \( a=2 \): En utilisant \( y - f(2) = f'(2)(x - 2) \). Donc, \[ y - 4 = 4(x - 2) \]. Ce qui donne: \[ y = 4x - 4 \].

Points clés à retenir

La dérivée est une limite, définissant une pente instantanée.
La notation standard de la dérivée est \( f'(x) \).
Les polynômes sont dérivables par des règles simples.
Une dérivée positive signifie que la fonction monte.
La dérivée négative indique que la fonction descend.
La dérivée nulle suggère un extremum local.
Les tangentes fournissent des informations graphiques sur la fonction.
Les applications des dérivées incluent la vitesse et l'accélération.
Les fonctions dérivables sont continues.
La dérivée seconde donne des informations sur la concavité.

Définitions importantes

Dérivée: La limite du taux de variation d'une fonction.
Tangente: Droite qui touche la courbe à un point sans la couper.
Limite: Valeur que la fonction approche lorsque l'entrée s'approche d'une valeur donnée.
Pente: Le rapport de la variation de \( y \) à la variation de \( x \).
Fonction polynomiale: Fonction définie par un polynôme.

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