Exercices simples de dérivée implicite corrigés

Commencez facilement avec ces exercices corrigés sur la dérivée implicite, spécialement conçus pour les élèves du lycée et collège.

Exercices simples de dérivée implicite corrigés

Dans ces exercices, nous allons explorer la méthode de dérivation implicite. La dérivation implicite est une technique utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction lorsqu'elle est définie implicitement ou sous forme d'équation reliant x et y. Voici les questions que nous allons aborder :

Comment dériver l'équation $x^2 + y^2 = 25$ ?
Si $xy + x^2 = 10$, quelle est la dérivée $dy/dx$ ?
Démontrez que la dérivée de $y^2 = x^3 - 3x$ est donnée par la formule implicite.
En utilisant l'équation $e^y + y^2 = x$, trouvez $dy/dx$.
Résoudre l'équation $x^2y + y^3 = 12$ pour déterminer $dy/dx$ chez un point spécifique.

Règles de la dérivation implicite

Utiliser la dérivée de $y$ comme étant $dy/dx$ lorsque $y$ est une fonction de $x$.
Appliquer la règle de la chaîne lors de la dérivation.
Isoler $dy/dx$ après avoir dérivé tous les termes de l'équation.
Ne pas oublier de multiplier les dérivées par $dy/dx$ si $y$ dépend de $x$.
Simplifiez l'expression obtenue pour trouver $dy/dx$ de manière explicite.

Indications pour résoudre des dérivées implicites

graph TD;    A[Dérivée de chaque terme] --> B{dérivée de l'équation};    B -->|Terme en $y$| C[Rappelez la règle de la chaîne];    B -->|Terme en $x$| D[Dérivez directement];    C --> E{Isoler $dy/dx$};    D --> E;    E --> F[Résultat final];

Rappelez-vous de bien suivre ces étapes lors de la résolution de vos dérivées implicites.

Solutions détaillées des exercices

Dérivation de $x^2 + y^2 = 25$

Dérivons les deux côtés par rapport à $x$ :

$$ \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$

$$ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 $$

Nous isolons $\frac{dy}{dx}$ :

$$ 2y\frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $$
Dérivée de $xy + x^2 = 10$

Dérivons chaque terme :

$$ \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(10) $$

$$ y + x\frac{dy}{dx} + 2x = 0 $$

Isolons $\frac{dy}{dx}$ :

$$ x\frac{dy}{dx} = -y - 2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{y + 2x}{x} $$
Démonstration de $y^2 = x^3 - 3x$

Dérivons :

$$ 2y\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 $$

Isolons :

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 3}{2y} $$
Dérivée de $e^y + y^2 = x$

Dérivons :

$$ e^y\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 1 $$

Isolons :

$$ \frac{dy}{dx}(e^y + 2y) = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y + 2y} $$
Dérivée de $x^2y + y^3 = 12$

Dérivons :

$$ 2xy + x^2\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0 $$

Nous isolons :

$$ (x^2 + 3y^2)\frac{dy}{dx} = -2xy \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{x^2 + 3y^2} $$

Points clés à retenir

La dérivation implicite nous permet de dériver des fonctions définies implicitement.
Utilisez toujours $dy/dx$ pour la dérivée de $y$.
Rappelez-vous d'appliquer la règle de la chaîne.
Il est essentiel de bien isoler $dy/dx$ après les dérivations.
Revoir les règles de dérivation classiques (somme, produit, chaîne).
Expérimentez avec différents types d'équations pour vous habituer.
Les équations peuvent avoir des multiples dérivées implicites.
Utilisez des graphiques pour visualiser les relations entre x et y.
Pratiquez avec des exemples variés pour renforcer la compréhension.
Utilisez ces techniques également en calcul différentiel pour des applications plus larges.

Définitions importantes

Dérivée implicite: Méthode pour trouver la dérivée d'une fonction définie implicitement par une équation connectant x et y.
Règle de la chaîne: Règle utilisée lors de la dérivation des fonctions composées.
Isoler une variable: Processus de réarrangement des équations pour exprimer une variable en fonction d'une autre.
Dérivée: Taux de changement d'une fonction par rapport à une variable.
Équation implicite: Équation qui relie deux variables sans exprimer explicitement une variable en termes de l'autre.

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