Dérivée implicite exercices corrigés intermédiaires

Renforcez vos compétences avec ces exercices intermédiaires corrigés en dérivée implicite, adaptés aux lycéens et collégiens.

Exercices Corrigés sur la Dérivée Implicite

Voici un exercice pour vous aider à maîtriser la dérivée implicite. Cet exercice comprend plusieurs questions :

Soit l'équation \( x^2 + y^2 = 25 \). Trouvez \(\frac{dy}{dx}\) en utilisant la dérivée implicite.
Soit l'équation \( xy + e^x = y^2 \). Trouvez \(\frac{dy}{dx}\).
Vérifiez la continuité de la fonction définie par \( F(x, y) = x^2 + y^2 - 25 \) en un point donné.
Trouvez l'équation de la tangente à la courbe à un point donné pour l'équation \( x^3 + y^3 = 6xy \).

La dérivée implicite est utilisée lorsque \( y \) n'est pas exprimé de manière explicite.
Appliquer la règle de dérivation à chaque terme de l'équation.
Utiliser \( \frac{dy}{dx} \) pour chaque dérivée de \( y \).
Isoler \( \frac{dy}{dx} \) à la fin du processus.

graph TD; A[Dérivée Implicite] --> B[Différencier chaque terme] B --> C[Identifier les termes contenant dY/dX] C --> D[Isoler dY/dX]

Considérons l'équation \( x^2 + y^2 = 25 \).

Différencions les deux côtés par rapport à \( x \):

\( 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \)

Isolons \( \frac{dy}{dx} \):

\( 2y\frac{dy}{dx} = -2x \)

\( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \)

Pour l'équation \( xy + e^x = y^2 \):

Différencions:

\( y + x\frac{dy}{dx} + e^x = 2y\frac{dy}{dx} \)

Regroupons les termes:

\( y + e^x = (2y - x)\frac{dy}{dx} \)

Isolons \( \frac{dy}{dx} \):

\( \frac{dy}{dx} = \frac{y + e^x}{2y - x} \)

Pour vérifier la continuité de \( F(x, y) = x^2 + y^2 - 25 \):

Nous devons vérifier que \( F(a, b) = 0 \) et que la fonction est continue dans le domaine.

Un point est continu si les limites existent et sont égales au point.

L'équation est \( x^3 + y^3 = 6xy \). Trouvons la tangente:

Différencions les deux côtés:

\( 3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) \)

Isolons \( \frac{dy}{dx} \):

\( (3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2 \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} \)

La dérivée implicite est utilisée pour des relations entre \( x \) et \( y \) non explicites.
La règle du chainage est essentielle.
Savoir identifier les variables dépendantes et indépendantes.
Les équations peuvent être complexes, mais les étapes restent les mêmes.
Regroupement des termes similaires dans les équations.
La vérification de continuité est cruciale sur les dérivées.
Interpréter graphiquement les tangentes sur les courbes.
Pratique régulière pour maîtriser les concepts.
Utiliser des outils graphiques pour mieux visualiser.
Réviser régulièrement les règles de base de la dérivation.

Dérivée Implicite: Méthode pour trouver la dérivée d'une fonction sans l'exprimer explicitement.
Règlement de Chaînage: Utilisation de \( dy/dx \) pour dériver des fonctions composées.
Fonction Continue: Fonction où la limite de \( f(x) \) au point \( c \) est égale à \( f(c) \).
Tangente: Droite qui touche une courbe en un seul point, représentant la dérivée à ce point.
Équation Implicite: Équation où les variables ne sont pas isolées.