Exercices avancés corrigés de dérivée implicite pour le lycée

Testez vos connaissances en dérivée implicite avec ces exercices avancés et leurs corrections, ciblant les élèves de lycée.

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Exercices avancés de dérivée implicite pour le lycée

Énoncé :Soit la courbe définie par l'équation implicite suivante :\[ F(x, y) = x^2 + y^2 - 25 = 0 \]1. Calculez \( \frac{dy}{dx} \) à l'aide de la dérivée implicite.2. Déterminez l'équation de la tangente à la courbe au point \( (3, 4) \).3. Utilisez la dérivée partielle pour déterminer \( \frac{d^2y}{dx^2} \) au point \( (3, 4) \).4. Représentez graphiquement la courbe et la tangente au point \( (3, 4) \).

Règles de dérivation implicite

La dérivée implicite permet de trouver la pente d'une courbe donnée par une équation implicite.
Pour appliquer la dérivée implicite, dérivez chaque terme de l'équation par rapport à \( x \).
Utilisez la règle de la chaîne pour les termes contenant \( y \).
Regroupez les termes en \( \frac{dy}{dx} \) pour isoler la dérivée.

Indications pour la résolution

Identifiez les termes \( x \) et \( y \) dans l'équation donnée.
Appliquez la dérivation à chaque terme.
Assurez-vous d'utiliser la dérivée de \( y \) correctement.
Substituez les coordonnées du point pour calculer la tangente.

Solutions détaillées aux questions

1. Pour calculer \( \frac{dy}{dx} \), nous dérivons chaque terme de l'équation \( F(x, y) = x^2 + y^2 - 25 \):

\[\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(25) = 0\]\[2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0\]

En isolant \( \frac{dy}{dx} \), nous avons :

\[2y \frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\]

2. Pour trouver l'équation de la tangente au point \( (3, 4) \), nous calculons \( \frac{dy}{dx} \) en ce point :

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}\]

Utilisons la forme point-pente pour l'équation de la droite :

\[y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\]

Ce qui donne :

\[y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 \implies y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\]

3. Nous allons maintenant déterminer \( \frac{d^2y}{dx^2} \) en différentiant à nouveau :

Utilisons la règle du quotient sur \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \) :

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y \cdot (-1) - (-x) \frac{dy}{dx}}{y^2}\]\end{p}

En substituant \( \frac{dy}{dx} \) et les valeurs \( x = 3 \), \( y = 4 \) :

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-y + \frac{x \cdot x}{y}}{y^2} = \frac{-4 + \frac{3 \cdot 3}{4}}{16}\]\end{p>

Ainsi, le calcul donne :

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-4 + \frac{9}{4}}{16} = \frac{-16 + 9}{64} = -\frac{7}{64}\]

4. Diagramme de la courbe et de la tangente :

graph TD; A[Courbe implicite] --> B[Tangente à (3,4)];

Points clés à retenir

Comprendre la dérivation implicite est crucial pour traiter les équations non explicitement définies.
La règle de la chaîne est essentielle lors de la dérivation de \( y \).
La connaissance des coordonnées de points spécifiques aide à construire les tangentes.
L'application des dérivées successives permet d'étudier la concavité de la courbe.

Définitions importantes

Dérivée implicite : Méthode pour trouver la dérivée lorsque \( y \) est défini implicitement par une équation dont les variables \( x \) et \( y \) ne sont pas séparées.
Règle de la chaîne : Règle utilisée pour différencier des fonctions composées.
Tangente : Ligne qui touche la courbe en un point donné, représentant la direction de la courbe à ce point.