Défis en dérivée implicite avec corrections détaillées

Relevez des défis stimulants avec ces exercices de dérivée implicite, accompagnés de corrections détaillées pour un apprentissage approfondi.

Défis en Dérivée Implicite : Exercices Pratiques

Dans cet exercice, nous allons explorer les défis liés à la dérivée implicite à travers 6 questions variées. Résolvez chaque problème en utilisant les techniques de dérivation implicite.

Règles de la Dérivée Implicite

Les dérivées implicites sont essentielles lorsqu'une fonction est définie par une relation entre x et y. Voici quelques règles importantes :

Si \( F(x, y) = 0 \), alors la dérivée de y par rapport à x peut être calculée en utilisant l’équation \( \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \).
Rappellez-vous de la règle de la chaîne: \( \frac{d}{dx}[y] = \frac{dy}{dx} \).
Utilisez la dérivation implicite pour résoudre des équations où y n'est pas isolé.
Pour les équations trigonometriques, appliquez la dérivée des fonctions trigonométriques.

Indications pour Résoudre les Exercices

Voici quelques indications pour vous aider à résoudre les exercices :

Démarrez en dérivant les deux côtés de l'équation par rapport à x.
Rappelez-vous d'inclure \( \frac{dy}{dx} \) chaque fois que vous dérivez y.
Réarrangez l'équation pour exprimer \( \frac{dy}{dx} \) en fonction de x et y.
Vérifiez si l'équation peut être simplifiée avant de dériver.

graph TD; A[Dérivation de l'équation F(x, y) = 0] --> B[Appliquez la règle de la chaîne] B --> C[Rassemblez tous les termes de dy/dx] C --> D[Exprimez dy/dx = -Fx/Fy]

Corrections Détailées des Questions

Question 1:

Soit l'équation \( x^2 + y^2 = 1 \). Trouvez \( \frac{dy}{dx} \).

1. Dérivons les deux côtés par rapport à x : \[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \] 2. Isolons \( \frac{dy}{dx} \) : \[ 2y\frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]

Question 2:

Pour l'équation \( x^3 + y^3 = 3xy \), déterminez \( \frac{dy}{dx} \).

1. Derivons les deux côtés : \[ 3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 3y + 3x\frac{dy}{dx} \] 2. Rassemblez les termes : \[ 3y^2\frac{dy}{dx} - 3x\frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2 \] 3. Factorisez et isolez \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx}(3y^2 - 3x) = 3y - 3x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3(y - x^2)}{3(y^2 - x)} = \frac{y - x^2}{y^2 - x} \]

Question 3:

Déterminez \( \frac{dy}{dx} \) pour \( e^x + \ln(y) = xy \).

1. Prenez la dérivée : \[ e^x + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx} \] 2. Regroupez les termes : \[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx} = y - e^x \] 3. Isoler \( \frac{dy}{dx} \) : \[ \frac{dy}{dx} \left(\frac{1}{y} - x\right) = y - e^x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y - e^x}{\frac{1}{y} - x} \]

Question 4:

Pour l'équation \( \sin(x + y) = y^2 \), trouvez \( \frac{dy}{dx} \).

1. Dérivons : \[ \cos(x+y)(1+\frac{dy}{dx}) = 2y\frac{dy}{dx} \] 2. Isolons \( \frac{dy}{dx} \) : \[ \cos(x+y) + \cos(x+y)\frac{dy}{dx} = 2y\frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx}(\cos(x+y) - 2y) = -\cos(x+y) \] 3. Final : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-\cos(x+y)}{\cos(x+y) - 2y} \]

Question 5:

Pour \( x^2y + xy^2 = 4 \), trouvez \( \frac{dy}{dx} \).

1. Dérivons : \[ 2xy + x^2\frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0 \] 2. Regroupez: \[ (x^2 + 2xy)\frac{dy}{dx} = -2xy - y^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-2xy - y^2}{x^2 + 2xy} \]

Question 6:

Déterminez \( \frac{dy}{dx} \) pour \( y^2 + x^3y = x \).

1. Prenez la dérivée : \[ 2y\frac{dy}{dx} + 3x^2y + x^3\frac{dy}{dx} = 1 \] 2. Regroupez : \[ (2y + x^3)\frac{dy}{dx} = 1 - 3x^2y \] 3. Final : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - 3x^2y}{2y + x^3} \]

Points Clés à Retenir

La dérivée implicite permet de résoudre des équations complexes.
Il est crucial de suivre le processus de dérivation soigneusement.
Le variable y doit être traitée comme une fonction de x lors de la dérivation.
Comprendre le comportement des équations peut être utile pour la simplification.
Pratiquez avec différentes relations pour renforcer la compréhension.
Vérifiez toujours les unités et les dimensions dans les problèmes appliqués.
Essayez d’accéder aux fonctions inverses lors de l’interprétation des résultats.
La précision lors de l’application des règles de dérivation est essentielle.
Utiliser des graphes peut aider à visualiser les résultats.
Ne pas hésiter à utiliser des outils numériques pour vérifier des solutions.

Dictionnaire des Termes Clés

Dérivée implicite : technique de dérivation utilisée lorsqu'une variable est définie implicitement par une équation.
Règle de la chaîne : méthode pour dériver la composition de fonctions.
Équation implicite : équation où la dépendance entre variables n'est pas explicitement résolue.
Variable dépendante : variable dont la valeur dépend d’une ou plusieurs autres variables.
Variable indépendante : variable dont la valeur peut varier librement sans être affectée par d'autres variables.